Radiazione di dipolo elettrico

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Evoluzione in tempo reale del campo elettrico generato da un dipolo oscillante alla frequenza di circa 0.16 Hz (pulsazione: 1 radiante al secondo). Il rosso indica un'elevata intensità, mentre il verde e il blu indicano direzioni opposte del campo.

In fisica, la radiazione di dipolo elettrico è la radiazione elettromagnetica prodotta da un dipolo elettrico oscillante, detto solitamente dipolo oscillante o antenna dipolare.

Lo studio del dipolo elettrico si basa sullo sviluppo in multipoli del potenziale elettrico generato da una distribuzione di carica e corrente oscillante nel tempo.

Espressione dei campi[modifica | modifica sorgente]

La descrizione della radiazione prodotta dal dipolo è basata sull'espressione dei potenziali ritardati, che vengono definiti a partire dai potenziali scalare (o elettrico) e vettore validi nei casi stazionari, e che tengono conto del fatto che gli effetti dovuti a variazioni delle sorgenti si propagano nel campo.

Il comportamento del dipolo è governato dalla seguente relazione:

\mathbf p =\mathbf p_0 \sin(\omega t + \phi)

dove \mathbf p_0, il momento di dipolo massimo del dipolo oscillante, è diretto come l'asse z. Il potenziale vettore ritardato generato dal dipolo è fornito dall'integrale sulle variabili primate, con \tau il volume del conduttore di cui è formato il dipolo:

\mathbf A(\mathbf r, t)=\int \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{\mathbf J \left( t-\frac{|\mathbf r-\mathbf r \, '|}{c} \right) }{|\mathbf r-\mathbf r \, '|} \operatorname d \tau'

Il campo di maggiore interesse è quello lontano dal dipolo, e pertanto si trascura \mathbf r \, ' rispetto a \mathbf r, che diventa una costante e viene estratto dall'integrale. Il risultato che si otteniene è:

\mathbf A(\mathbf r, t)=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\dot {\mathbf p} \left(t-\frac{r}{c} \right)}{r}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\omega \mathbf p_0}{r}\cos \left( \omega(t-\frac{r}{c}) \right)

Imponendo la validità del gauge di Lorenz si mostra il potenziale scalare V:

\frac{\partial V}{\partial t}=-c^2 \mathbf \nabla \cdot \mathbf A =-\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0} \frac{\partial A_z}{\partial z}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{\ddot p}{cr}+ \frac{\dot p}{r^2}    \right)\frac{z}{r}
V(\mathbf r, t)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{\dot p}{cr}+ \frac{p}{r^2}  \right)\frac{z}{r}

I campi elettrico e magnetico generati dal dipolo si ottengono dal rotore di \mathbf A e dal gradiente di V. In coordinate sferiche, essi prendono la forma:

E_r=\frac{2 \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \left( \frac{\dot p}{c}+\frac{p}{r} \right) \qquad B_r=0
E_\theta=\frac{\sin \theta}{4 \pi \varepsilon_0 r} \left( \frac{\ddot p}{c^2}+\frac{\dot p}{cr}+\frac{p}{r^2} \right)\qquad B_\theta=0 \
E_\phi=0 \qquad B_\phi=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\sin \theta}{r}\left( \frac{\ddot p}{c}+\frac{\dot p}{r} \right)

Da queste espressioni si vede come \mathbf E e \mathbf B siano punto per punto ortogonali. Le linee di forza di \mathbf B sono circonferenze centrate intorno all'asse z, mentre \mathbf E giace nel piano formato dal raggio vettore \mathbf r e z.

Vettore di Poynting ed equazione di Larmor[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Vettore di Poynting e Equazione di Larmor.

Per calcolare l'energia associata ai campi si utilizza il vettore di Poynting:

\mathbf P = \mathbf E \wedge \frac{\mathbf B}{\mu_0}

le cui componenti sono:

P_r=\frac{\sin^2 \theta}{16 \pi^2 \varepsilon_0 c^3} \left( \frac{\ddot p}{r}\right)^2  - \frac{1}{16 \pi^2 \varepsilon_0} \left[ 2\frac{\ddot p \dot p}{c^2r}+ \frac{\dot p p}{r^3} + \frac{(\ddot p p + \dot p^2)}{cr^2}  \right] \frac{\sin^2 \theta}{r^2}
P_\theta=\frac{1}{16 \pi^2 \varepsilon_0} \left[ \frac{\ddot p \dot p}{c^2r}+ \frac{\dot p p}{r^3} + \frac{(\ddot p p + \dot p^2)}{cr^2}  \right] \frac{2\sin \theta \cos \theta}{r^2}
P_\phi=0

Calcolando la media temporale della componente radiale su un periodo, i termini delle parentesi quadre si annullano e la media del vettore è:

 \langle \mathbf P \rangle =\frac{\sin^2 \theta}{16 \pi^2 \varepsilon_0 c^3} \left( \frac{\ddot p}{r} \right)^2 \hat r

I termini che si annullano nell'operazione di media non contribuiscono invece alla propagazione e sono detti termini di campo vicino. La potenza media irraggiata vale:

\bar W=\frac{\omega^4 p_0^2}{2} \frac{\mu_0}{6 \pi c}=\frac{\mu_0}{6 \pi c} \bar {\ddot p}^2

mentre la potenza totale emessa è data da:[1]

W=\frac{\omega^4 |\mathbf{p}|^2}{12\pi\varepsilon_0 c^3}

nota anche come equazione di Larmor.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Jackson, op. cit., Pag. 665

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999. ISBN 047130932X.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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