Quadrato eteromagico

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Si dice quadrato eteromagico di ordine n (intero positivo) una collocazione degli interi da 1 a n² in una matrice quadrata, tale che le somme delle entrate delle righe, delle colonne e delle due diagonali siano tutte diverse. Queste matrici iniettive vengono chiamate anche eteroquadrati. Di quadrati eteromagici non ne esiste alcuno di ordine 2, ma ne esistono per ogni ordine n ≥ 3. Esempi per gli ordini 3, 4 e 5 sono


\begin{matrix}
1&2&3 \\
8&9&4 \\
7&6&5
\end{matrix}
\qquad\qquad
\begin{matrix}
2&1&3&4 \\
5&6&7&8 \\
9&10&11&12 \\
13&14&15&16
\end{matrix}
\qquad\qquad
\begin{matrix}
1&2&3&4&5 \\
16&17&18&19&6 \\
15&24&25&20&7 \\
14&23&22&21&8 \\
13&12&11&10&9
\end{matrix}

Vi sono due semplici procedimenti che consentono di costruire rispettivamente quadrati eteromagici di ordine dispari e pari; proprio con tali procedimenti sono stati costruiti gli esempi precedenti. Per n dispari si collocano i successivi interi nelle caselle incontrate procedendo a spirale a partire, ad esempio, dalla casella superiore più a sinistra. Se n è pari si collocano i successivi interi procedendo sulle successive righe da destra a sinistra, e quindi scambiando l'1 con il 2.

Si è abbastanza convinti che vi siano esattamente 3120 quadrati eteromagici di ordine 3 essenzialmente diversi, cioè non riconducibili ad un altro applicando una delle simmetrie del quadrato.

Casi molto particolari di quadrati eteromagici sono i quadrati antimagici, quadrati per i quali le 2n + 2 somme forniscono altrettanti interi consecutivi.

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