Punto fuchsiano

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In matematica, nella teoria delle equazioni differenziali lineari di variabile complessa, un punto fuchsiano, anche detto singolarità fucsiana o punto singolare regolare, è un tipo particolare di punto singolare in corrispondenza del quale le soluzioni dell'equazione crescono non più velocemente di un polinomio. Il nome si deve a Lazarus Fuchs.

Un'equazione differenziale ordinaria lineare omogenea definita nel piano complesso, di cui i coefficienti sono funzioni analitiche, è detta equazione fuchsiana se tutti i punti singolari sono punti fuchsiani sulla sfera di Riemann.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Data un'equazione ordinaria lineare di n-esimo grado:

f^n (z) + \sum_{i=0}^{n-1} p_i(z) f^{(i)} (z) = 0 \qquad z \in \C

con p_i(z) funzioni meromorfe nei punti z_0, i punti z_0 sono punti singolari regolari se ogni soluzione cresce non più velocemente di un polinomio per z \to z_0. Nello specifico, per ogni intervallo \alpha < \arg(z-z_0)<\beta con \beta - \alpha < \pi, ogni soluzione f_0(z) è vincolata dalla disuguaglianza:

|f_0(z)|\le C|z-z_0|^{-d}

per una qualche costante C>0. Il punto z_0=\infty è regolare se dopo il cambio di variabile z=1/\tau l'equazione ha una singolarità regolare nel punto \tau =0. Un punto singolare che non è regolare è detto punto singolare irregolare.

Le equazioni in cui tutti i punti singolari sono punti fuchsiani sulla sfera di Riemann sono dette equazioni fuchsiane. Si dice che l'equazione è di classe fuchsiana se i coefficienti hanno la forma:

p_i(z)=\prod_{j=1}^k (z-z_j)^{-i}q_i(z)

con z_j punti distinti e q_i(z) un polinomio di gradi minore di i(k-1).

Equazioni di secondo grado[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso di un'equazione del secondo ordine:

 y''(z) + P(z) y'(z)+Q(z) y(z)=0

il punto z_0 \in \Bbb{C} si dice un punto singolare se P(z) o Q(z) hanno una singolarità isolata per z=z_0. Il punto singolare z_0 si dice fuchsiano se P(z) è al massimo un polo di ordine 1 e Q(z) è al massimo un polo di ordine 2. Se tutti i punti singolari dell'equazione differenziale sono fuchsiani, l'equazione è chiamata equazione fuchsiana.

Un esempio di equazione fuchsiana con tre punti fuchsiani è l'equazione di Papperitz-Riemann. Ogni equazione ordinaria di secondo grado con tre punti singolari sulla sfera di Riemann può essere ricondotta all'equazione ipergeometrica (che si ottiene dall'equazione di Papperitz-Riemann), mentre nel caso vi siano quattro punti singolari può essere ridotta alla forma dell'equazione di Heun.

Teorema di Fuchs[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Fuchs assicura che nell'intorno di un punto fuchsiano esiste sempre una soluzione della forma:

y_1(z)=(z-z_0)^{\alpha_1} w_1(z)

dove \alpha_1 è la soluzione avente parte reale massima dell'equazione algebrica di secondo grado:

x^2 + (p_o-1)x + q_o=0

detta "equazione indiciale" o "caratteristica" dell'equazione differenziale, e la funzione w_1 è una funzione olomorfa non nulla in z=z_0. I coefficienti dell'equazione indiciale si ricavano dai coefficienti P,Q nel seguente modo:

p_0=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)P(z)
q_0=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)^2Q(z)

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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