Punto fuchsiano

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In matematica, nella teoria delle equazioni differenziali lineari di variabile complessa, un punto fuchsiano (o punto di singolarità fuchsiana o punto singolare regolare) è un tipo particolare di punto singolare per le funzioni che compaiono come coefficienti dell'equazione.

Nel caso di un'equazione del secondo ordine

 y''(z) + P(z) y'(z)+Q(z) y(z)=0,

il punto z_0 \in \Bbb{C} si dice un punto singolare se P(z) o Q(z) hanno una singolarità isolata per z=z_0. Il punto singolare z_0 si dice fuchsiano se P(z) è al massimo un polo di ordine 1 e Q(z) è al massimo un polo di ordine 2.

Se tutti i punti singolari dell'equazione differenziale sono fuchsiani, l'equazione è chiamata equazione fuchsiana. Un esempio d'equazione fuchsiana con tre punti fuchsiani è l'equazione di Papperitz-Riemann, mentre con quattro punti fuchsiani c'è l'equazione di Heun.

Il teorema di Fuchs assicura che nell'intorno di un punto fuchsiano esiste sempre una soluzione della forma

y_1(z)=(z-z_0)^{\alpha_1} w_1(z)

dove \alpha_1 è la soluzione avente parte reale massima dell'equazione algebrica di secondo grado

x^2 + (p_o-1)x + q_o=0

detta "equazione indiciale" o "caratteristica" dell'equazione differenziale, e la funzione w_1 è una funzione olomorfa non nulla in z=z_0. I coefficienti dell'equazione indiciale si ricavano dai coefficienti P,Q nel seguente modo:

p_0=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)P(z)
q_0=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)^2Q(z)

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