Punto di Fermat

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punto di Fermat
Fermat Point.svg
Codice ETC 13
Coordinate baricentriche
λ1 a•cosec(A±π/3)
λ2 b•cosec(B±π/3)
λ3 c•cosec(C±π/3)
Coordinate trilineari
x cosec(A±π/3)
y cosec(B±π/3)
z cosec(C±π/3)

In geometria, il punto di Fermat è il punto che minimizza la distanza complessiva da tutti e tre i vertici di un triangolo. La scoperta risale come soluzione a un problema posto da Fermat a Torricelli.

Quando un triangolo ha un angolo maggiore di 120° il punto di Fermat è posto sul vertice dell'angolo ottuso. In un triangolo in cui l'angolo maggiore che sia al massimo 120°, il punto di Fermat è individuato dall'intersezione delle tre linee ottenute congiungendo ciascun vertice del triangolo con il vertice, non appartenente al triangolo, del triangolo equilatero costruito sul lato opposto ed esternamente al triangolo.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Il punto di Fermat ha diverse proprietà. Dato un triangolo ABC si deve costruire su ogni lato un triangolo equilatero in modo da formare tre triangoli chiamati ABC',AB'C,A'BC. Congiungendo AA', BB', CC' queste tre rette si incontrano in un punto F. Si dimostra che AA'=BB'=CC'. Infatti i triangoli ACA' e B'CB sono uguali perché CA = CB', CA' = CB, l'angolo ACA' = l'angolo BCB'. Ne segue che AA' = BB' e analogamente si prova che AA' = CC'. Creiamo tre circonferenze γ,α ,β tali che γ sia circoscritta a ACB', α sia circoscritta a A'CB, β sia circoscritta a AC'B. Le tre circonferenze avranno tutte in comune il punto F. Poiché i quadrilateri AC'BF, AB'CF sono inscritti in una circonferenza, l'angolo AFB =120° e l'angolo AFC =120°

Ne segue che: l'angolo BFC=120°: quindi il punto F appartiene a β. Il punto F appartiene a BB' perché: l'angolo AFB =120° l'angolo AFB' = l'angolo ACB'= 60°. Allo stesso modo si dimostra che F appartiene a AA' e anche a CC'.

Il punto F è detto "punto di Fermat" del triangolo ABC.

Prova[modifica | modifica sorgente]

Usiamo le proprietà di vettore e prodotto interno di vettori su spazio euclideo E.

Lemma 1
Per tutti i vettori \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\neq\overrightarrow{0},
\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}
 +     \frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}
 +     \frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}=\overrightarrow{0}
è equivalente alla proposizione che
\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|},
       \frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|},
       \frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|} hanno l'angolo di 120° tra loro.
La prova del Lemma 1
Abbiamo impostato i versori \overrightarrow{e_{i}} \ (i = 0,1,2) come segue:
\overrightarrow{e_{0}} = \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|},
       \overrightarrow{e_{1}} = \frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|},
       \overrightarrow{e_{2}} = \frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}.
E impostare l'angolo di due vettori unitari \overrightarrow{e_{i}}, \overrightarrow{e_{j}} as \theta_{ij}.
Così otteniamo \theta_{ij}=\theta_{ji} e i valori del prodotto interno come:
\overrightarrow{e_{i}}\cdot\overrightarrow{e_{j}}=\cos\theta_{ij}=\begin{cases}1 &  (i=j) \\ -\frac{1}{2} &  (i \ne j).\end{cases}
Così otteniamo \theta_{ij} = 120^\circ \ (i \ne j).
Al contrario, se versori degli \overrightarrow{e_{i}} \ (i = 0,1,2) hanno un angolo di 120° tra di loro, si ottiene
\overrightarrow{e_{i}}\cdot\overrightarrow{e_{j}}=\begin{cases} \cos 0^\circ = 1 &  (i=j) \\ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} &  (i \ne j).\end{cases}
Quindi si può calcolare come
|\overrightarrow{e_{0}}+\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}|^{2}=\sum_{i=j}^{} \overrightarrow{e_{i}}\cdot\overrightarrow{e_{j}}+\sum_{i \neq j}^{} \overrightarrow{e_{i}}\cdot\overrightarrow{e_{j}}
=3 \times 1 + 6 \times \left( -\frac{1}{2} \right) =0.
Pertanto si ottiene
\overrightarrow{e_{0}}+\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}=\overrightarrow{0}. QED
Lemma 2
Per tutti i vettori \overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0},\overrightarrow{x},
|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{x}| \ge |\overrightarrow{a}|-\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}\cdot\overrightarrow{x}.
Prova del Lemma 2
Per eventuali vettori di \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, è dimostrato che |\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \ge \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}.
Possiamo impostare che \overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}, \overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{x}.
Poi avremo la disuguaglianza di Lemma 2. QED

Se il triangolo ABC è un triangolo che tutto l'angolo è inferiore a 120°, siamo in grado di costruire la Fermat punto F all'interno del triangolo ABC. Poi impostare il punto di Fermat F come origine di vettori, quindi per qualsiasi X punto della E spazio euclideo, possiamo impostare \overrightarrow{a}=\overrightarrow{FA}, \overrightarrow{b}=\overrightarrow{FB}, \overrightarrow{c}=\overrightarrow{FC}, \overrightarrow{x}=\overrightarrow{FX}.

Se F è il punto di Fermat, poi \angle AFB=\angle BFC=\angle CFA=120^\circ. Quindi, si ottiene l'uguaglianza dei Lemma 1.

Dal Lemma 2, possiamo ottenere

|\overrightarrow{XA}| \ge |\overrightarrow{FA}|-\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}\cdot\overrightarrow{x},
|\overrightarrow{XB}| \ge |\overrightarrow{FB}|-\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}\cdot\overrightarrow{x},
|\overrightarrow{XC}| \ge |\overrightarrow{FC}|-\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}\cdot\overrightarrow{x}.

Per questi tre disuguaglianze e la parità di Lemma 1, si può ottenere

|\overrightarrow{XA}| + |\overrightarrow{XB}| + |\overrightarrow{XC}| \ge |\overrightarrow{FA}| + |\overrightarrow{FB}| + |\overrightarrow{FC}|.

Esso viene utilizzato per tutti X punto del spazio euclideo E, quindi se X = F, allora il valore di|\overrightarrow{XA}| + |\overrightarrow{XB}| + |\overrightarrow{XC}| è minima. QED

Storia[modifica | modifica sorgente]

Questo quesito fu posto da Fermat a Evangelista Torricelli. Egli risolse il problema in modo simile a Fermat, usando l'intersezione delle circonferenze dei tre triangoli regolari. Il suo allievo, Vincenzo Viviani, pubblicò la soluzione nel 1659.[1]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Weisstein, Eric W., Punti di Fermat su MathWorld.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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