Pseudoprimo di Eulero

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Un numero n è detto pseudoprimo di Eulero in base a (con MCD(n,a)=1) se è un numero dispari composto e

a^{\frac{n-1}{2}}\equiv\pm 1\mod n

dove mod è l'operazione modulo.

Questi numeri sono detti pseudoprimi perché tutti i numeri primi verificano questa proprietà, in base al piccolo teorema di Fermat. Infatti, secondo questo ogni numero a coprimo con n verifica

a^{p-1}\equiv 1\mod p

Se ora p>2, si ha

a^{2\cdot\frac{n-1}{2}}\equiv 1\mod p, ovvero a^{\frac{n-1}{2}}\equiv\pm 1\mod n

Una forma più forte della relazione precedente è

a^{\frac{n-1}{2}}\equiv\left(\frac{a}{n}\right)

dove (a/n) è il simbolo di Legendre. Un numero che verifica questa uguaglianza è detto pseudoprimo di Eulero-Jacobi in base a. Ogni pseudoprimo di Eulero-Jacobi è anche uno pseudoprimo di Eulero, poiché il simbolo di Legendre può essere solamente 1 e -1, tuttavia esistono numeri del secondo tipo che non appartengono al primo insieme. Ad esempio 9 è uno pseudoprimo di Eulero in base 17, ma non uno pseudoprimo di Eulero-Jacobi; mentre in base 19 è uno pseudoprimo di Eulero e di Eulero-Jacobi. Infatti:

(17)^{9-1}\equiv(-1)^{8}=1\mod 9
(17)^{9-1}\equiv (-1)^{8}= 1 \neq -1 = \left(\frac{17}{9}\right)\mod 9

Invece,

(19)^{9-1}\equiv(1)^{8} = 1 \mod 9.
(19)^{9-1}\equiv(1)^{8}= 1 = 1 = \left(\frac{19}{9}\right)\mod 9

La differenza dei due casi (pseudoprimi di Eulero o di Eulero-Jacobi) si trova nella scelta di +1 o -1, che rende più raffinata la valutazione di Eulero-Jacobi.

Ogni pseudoprimo di Eulero è anche uno pseudoprimo di Fermat in base a, ma non vale il viceversa.

Esistono inoltre numeri che sono pseudoprimi di Eulero in ogni base a coprima con loro stessi; tali numeri sono detti pseudoprimi assoluti di Eulero. Questi numeri sono un sottoinsieme degli pseudoprimi assoluti di Fermat, generalmente chiamati numeri di Carmichael. Il più piccolo pseudoprimo assoluto di Eulero è 1729.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]