Pseudo-inversa

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In matematica, e in particolare in algebra lineare, la matrice pseudo-inversa, o pseudo-inversa di Moore-Penrose, di una matrice data A è la generalizzazione della matrice inversa al caso in cui A non sia quadrata.

La matrice pseudo-inversa interviene nella soluzione del problema dei minimi quadrati.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Data la matrice A di dimensioni n \times m, una matrice m \times n è detta pseudo-inversa di A se verifica le seguenti quattro proprietà:

  • AA^+A=A,
  • A^+AA^+=A^+,
  • (AA^+)^T=AA^+,
  • (A^+A)^T=A^+A.

Data una matrice A, esiste un'unica matrice pseudo-inversa che verifica le precedenti proprietà.

Se la matrice A ha rango massimo esiste una semplice espressione algebrica per determinare la pseudo-inversa. In particolare, data la matrice A di dimensioni n \times m con n \ge m e rango m, la matrice pseudo-inversa di A è la matrice

A^+=(A^T A)^{-1}A^T,

ed è un'inversa sinistra, cioè

A^+A=I,

dove I è la matrice identità. Invece se A di dimensioni n \times m con n \le m e rango n la matrice pseudo-inversa è la seguente

A^+=A^T(AA^T)^{-1},

ed è un'inversa destra, cioè

AA^+=I.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • La pseudo-inversa della pseudo-inversa è la matrice iniziale: (A^+)^+=A.
  • Se A quadrata con rango massimo allora la pseudo-inversa coincide con la matrice inversa standard: A^+=A^{-1}.
  • La pseudo-inversa della trasposta è la trasposta della pseudo-inversa: (A^+)^T=(A^T)^+.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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