Proiezione cilindrica centrografica modificata di Mercatore

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La mappa di Mercatore Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendata (1569)

La proiezione di Mercatore è una proiezione cartografica conforme e cilindrica proposta nel 1569 dal geografo e cartografo fiammingo Gerard de Cremer noto come Gerardus Mercator (italianizzato in Gerardo Mercatore).

La rappresentazione di Mercatore è uno sviluppo cilindrico diretto modificato da un procedimento misto geometrico-analitico che rende le carte isogoniche (angoli uguali nella rotta). Essa è diventata la proiezione cartografica più usata per le mappe nautiche per la sua proprietà di rappresentare linee di costante angolo di rotta (linee lossodromiche) con segmenti rettilinei.

Mentre la scala delle distanze è costante in ogni direzione attorno ad ogni punto, conservando allora gli angoli e le forme di piccoli oggetti (il che rende la proiezione conforme), la proiezione di Mercatore distorce sempre più la dimensione e le forme degli oggetti estesi passando dall'equatore ai poli, in corrispondenza dei quali la scala della mappa aumenta a valori infiniti (secondo un grigliato delle latitudini crescenti).

Proprietà e dettagli storici[modifica | modifica sorgente]

Nel 1569 Mercatore pubblicò un grande planisfero misurante 202x124 cm, stampato in diciotto diversi fogli. Come in ogni proiezione cilindrica, paralleli e meridiani sono rappresentati da linee rette perpendicolari tra loro. Realizzando questo, l'inevitabile distorsione est-ovest della mappa, che aumenta con la distanza dall'equatore, è accompagnata da un'identica distorsione nord-sud, tale che in ogni punto di posizione, la scala delle distanze est-ovest è la stessa della scala nord-sud, rendendo la proiezione conforme. Una mappa di Mercatore pertanto non può mai coprire pienamente le aree in prossimità dei poli, in quanto in quel punto la scala delle distanze assume valori infiniti. Essendo una proiezione conforme, gli angoli sono preservati a partire da ogni posizione, mentre la scala delle distanze varia da punto a punto, distorcendo la forma degli oggetti geografici. In particolare, le aree prossime ai poli ne sono più affette, rendendo una immagine del pianeta tanto più distorta quanto più ci si avvicini ai poli. In pratica, a latitudini maggiori di 70° nord o sud, la proiezione di Mercatore è praticamente inutilizzabile.

Una mappa stellare con proiezione cilindrica simile alla proiezione di Mercatore, dal libro del Xin Yi Xiang Fa Yao, pubblicato nel 1092 dallo scienziato cinese Su Song.[1][2]

Tutte le linee di costante angolo di rotta (linee lossodromiche — quelle che determinano un angolo costante con i meridiani) sono rappresentate su una mappa di Mercatore da segmenti rettilinei. Queste sono precisamente il tipo di rotta usualmente seguite dalle navi sul mare, dove è utilizzata la bussola per indicare le direzioni geografiche e per orientare le navi. Le due proprietà, conformità e linee lossodromiche rettilinee, rendono la proiezione di Mercatore particolarmente adatta alla navigazione marina: rotte e puntamenti sono misurate mediante rosa dei venti e goniometro, e le corrispondenti direzioni sono facilmente trasferite da punto a punto della mappa con l'aiuto di un regolo parallelo o un paio di squadrette di navigazione.

Il nome dato da Mercatore alla sua mappa del mondo (Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigatium Emendate: "nuova ed aumentata descrizione della Terra corretta per l'uso di navigazione") dimostra che essa era già allora concepita per la navigazione marina. Benché il metodo di costruzione della mappa è non esplicitato dall'autore, Mercatore probabilmente ha usato un metodo grafico, riportando alcune linee lossodromiche precedentemente tracciate su una sfera in un reticolo quadrato, e aggiustando lo spazio tra i paralleli in modo tale che tali linee diventino dritte, segnando con i meridiani lo stesso angolo riportato sul globo.

Lo sviluppo della proiezione di Mercatore rappresenta il passo più significativo nella cartografia nautica del XVI secolo. Comunque, essa fu molto più avanti del suo tempo, in quanto le vecchie tecniche di navigazione e rilevamento non erano compatibili con il suo uso in navigazione. Due principali problemi ne limitavano infatti la sua immediata applicazione: l'impossibilità a quel tempo di determinare la longitudine sul mare con adeguata accuratezza ed il fatto che in navigazione venisse fatto riferimento alle direzioni magnetiche invece che geografiche. Solo a metà del XVIII secolo, dopo che fu inventato il cronometro nautico e conosciuta la distribuzione spaziale della declinazione magnetica, la proiezione di Mercatore poté essere pienamente adottata dai naviganti.

Diversi altri autori sono associati con lo sviluppo della proiezione di Mercatore:

  • Il tedesco Erhard Etzlaub (c. 1460–1532), che ha stampato mappe per bussole miniaturizzate (circa 10x8 cm) dell'Europa e parti dell'Africa, latitudini 67°–0°, al fine di permettere aggiustamenti della sua meridiana solare portabile, fu per decenni ritenuto di aver progettato "una proiezione identica a quella di Mercatore". Recentemente è stata provata la falsità di tale affermazione, che trae origini su dubbie ricerche risalenti al 1917.
  • Il matematico e cosmografo portoghese Pedro Nunes (1502–1578), che per primo descrisse la linea lossodromica ed il suo uso nella navigazione marica, e suggerì la costruzione di diverse carte nautiche di diversa grande scala in una proiezione cilindrica equidistante al fine di rappresentare il mondo con il minimo angolo di distorsione (1537).
  • Il matematico inglese Edward Wright (c. 1558–1615), che formalizzò per primo la matematica della proiezione di Mercatore (1599), e pubblicò accurate tavole per la sua costruzione (1599, 1610).
  • I matematici inglesi Thomas Harriot (1560–1621) e Henry Bond (c.1600 – 1678) che, in maniera indipendente (c. 1600 e 1645), associarono la proiezione di Mercatore con la sua moderna formula logaritmica, successivamente dedotto dal calcolo.

Matematica della proiezione[modifica | modifica sorgente]

Relazione tra posizione verticale sulla mappa di Mercatore (orizzontale nel grafico) e latitudine (verticale nel grafico).

Le seguenti equazioni determinano le coordinate cartesiane x e y di un punto nella mappa di Mercatore a partire dalle coordinate geografiche di latitudine φ e longitudine λ (λ0 indica il meridiano posto al centro della mappa):

\begin{align}
x &= \lambda - \lambda_{0} \\
y &= \ln{\left[ \tan{\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2} \right)} \right]} \\
&= \frac{1}{2} \ln{\left( \frac{1 + \mathrm{sen} \, \phi}{1 - \mathrm{sen} \, \phi} \right)} \\
&= \mathrm{senh}^{-1}{(\tan{\phi})} \\
&= \tanh^{-1}{(\mathrm{sen} \, \phi)} \\
&= \ln{(\tan{\phi} + \sec{\phi} )}
\end{align}

Le funzioni inverse determinano le coordinate geografiche a partire dalle coordinate cartesiane riportate nella mappa di Mercatore:

\begin{align}
\phi &= 2 \tan^{-1}{(e^{y})} - \frac{\pi}{2} \\
&= \tan^{-1}{[\mathrm{senh}{(y)}]} \\
\lambda &= x + \lambda_{0}
\end{align}

La scala della mappa di Mercatore è proporzionale alla secante della latitudine φ, diventando arbitrariamente grande vicino i poli, dove φ = ±90°. Pertanto, come si deduce dalle formule, le coordinate y dei poli sono \pm \infty.

Derivazione della proiezione[modifica | modifica sorgente]

La proiezione cilindrica di Mercatore.

Assumiamo la Terra con una forma sferica (in realtà, è un geoide, ma assumiamo per semplicità la forma sferica essendo la differenza irrilevante su mappe di piccola scala).

Possiamo immaginare la proiezione di Mercatore immaginando un cilindro avvolto attorno alla sfera terrestre e tangente ad essa lungo la superficie dell'Equatore. L'asse della terra coincide con l'asse del cilindro ed i piani passanti per l'asse terrestre, che “tagliano” la sfera lungo i meridiani, intersecano anche la superficie del cilindro lungo le sue generatrici. Quindi, proiettando dal centro della Terra, tutti i punti dei meridiani sulla superficie del cilindro, detti meridiani corrispondono sul cilindro alle rette generatrici.

Tagliando la superficie del cilindro lungo una sua generatrice ed stendendola su un piano (la carta), i meridiani che sulla sfera convergono nei poli, sulla carta sono rappresentati da linee rette verticali e parallele, che pertanto non convergono mai. Sulla carta, equatore e paralleli sono invece rappresentati da rette orizzontali.

Sulla carta, a causa del parallelismo dei meridiani, la lunghezza dei tratti di parallelo tra due meridiani risulta sempre uguale: essa è quindi dilatata, al crescere della latitudine, rispetto alla situazione reale della sfera terrestre. In altri termini, la distanza tra due meridiani, apparentemente costante sulla carta, corrisponde ad una distanza reale sulla sfera terrestre che decresce al crescere della latitudine (verso nord o verso sud). Le due distanze, reale ed apparente, risultano apparentate dal fattore

\cos \varphi

Per mantenere inalterato il rapporto di forma dei piccoli oggetti a qualsiasi latitudine, alla dilatazione sulla carta della distanza tra i meridiani si fa corrispondere anche una uguale dilatazione della distanza tra i paralleli. Tale requisito di similitudine è imposto su quadrati di lato infinitesimo orientati secondo le linee meridiane e parallele

\frac{d x}{d \lambda} =  \frac{1}{\cos(\varphi)}\;\;\Rightarrow \;\;\frac{d y}{d \varphi} =  \frac{1}{\cos(\varphi)}=\sec\varphi

Quindi la coordinata y è una funzione solo della latitudine φ con y'=\sec\varphi da cui si ricava si ricava per integrazione la funzione cercata

y = \ln(|\sec(\varphi) + \tan(\varphi)|) + C.

Ponendo l'origine delle coordinate tale che φ = 0 per y = 0, si annulla il valore della costante di integrazione (C = 0).

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

Effetto di distorsione delle aree
La proiezione sinusoidale di conservazione delle aree

Come ogni mappa di proiezione che tenta di rappresentare una superficie curva su un foglio piano, la forma della mappa è una distorsione della reale forma della superficie terrestre. La proiezione di Mercatore esagera le dimensioni delle aree lontane dall'equatore. Per esempio:

  • la Groenlandia è rappresentata con un'area equivalente a quella dell'intero territorio dell'Africa, quando in realtà l'area di questa è approssimativamente 14 volte quella della Groenlandia.
  • l'Alaska è rappresentata con un'area simile se non superiore a quella del Brasile, quando l'area del Brasile è in realtà più di 5 volte quella dell'Alaska.
  • la Finlandia è rappresentata avente un'estensione nord-sud più grande di quella dell'India, quando nella realtà è vero il contrario.

Benché la proiezione di Mercatore sia ancora di uso comune per i naviganti, dovuto alle sue uniche proprietà, i cartografi sono d'accordo nel ritenere che essa non sia adatta ad una rappresentazione globale dell'intero pianeta, dovuta ai suoi effetti di distorsione delle aree. Mercatore stesso fece uso di una proiezione sinusoidale di uguale area per rappresentare le aree relative. In conseguenze di tali critiche, i moderni atlanti geografici non usano più la proiezione di Mercatore per le mappe dell'intero pianeta e per aree distanti dall'equatore, preferendo altre proiezioni cilindriche o qualche forma di proiezione sinusoidale (area uguale). La proiezione di Mercatore è ancora, invece, comunque comunemente usata per aree vicine all'equatore, dove la distorsione è minima.

Google Maps attualmente usa una proiezione di Mercatore per le sue immagini. Infatti la proiezione di Mercatore si adatta bene per una mappa del mondo interattiva, che può essere spostata e scalata senza cuciture di giunzione su mappe locali; la distorsione è impercettibile per piccole variazioni di latitudine. Google Satellite Maps, d'altro canto, ha usato una proiezione equirettangolare fino al 2005-07-22.

La massima latitudine φ di Google Maps si raggiunge a ±85.05113 gradi, quando la coordinata y di mercatore vale π. Più precisamente:

\frac{1}{2} \ln\bigg(\frac{1+\sin(\varphi)}{1-\sin(\varphi)}\bigg) = \pm\pi \Rightarrow \varphi = \pm\arcsin\bigg(\frac{\mathrm{e}^{2 \pi}-1}{\mathrm{e}^{2 \pi}+1}\bigg)

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Needham, Volume 3, 227.
  2. ^ Needham, Volume 4, Part 3, 569.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3-4. Taipei: Caves Books Ltd.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]