Proiezione (geometria)

La proiezione ortogonale di un cubo su un piano verticale.

In geometria esistono varie nozioni di proiezione: sono tutte funzioni fra spazi ispirate alle varie proiezioni cartografiche.

Proiezione ortogonale

La trasformzione P è una proiezione ortogonale sulla retta m.

Nel piano cartesiano o nello spazio

In uno spazio euclideo, come ad esempio il piano cartesiano o lo spazio tridimensionale, una proiezione ortogonale su un determinato sottospazio m (ad esempio, una retta o un piano) è una funzione P che sposta ogni punto dello spazio su un punto di m lungo una direzione perpendicolare ad m.

Ad esempio, la proiezione del piano cartesiano sull'asse delle ascisse è la funzione

$(x,y) \mapsto (x,0)$

e la proiezione sulle ordinate è la funzione

$(x,y) \mapsto (0,y).$

In uno spazio vettoriale

Se S è un sottospazio vettoriale dello spazio euclideo n-dimensionale $\R^n$, la proiezione ortogonale su S è definita ponendo:

$B = (\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_k,\mathbf v_{k+1},\ldots,\mathbf v_n)$

una base ortonormale per lo spazio euclideo, i cui primi k vettori sono una base per S. Scrivendo i vettori attraverso i vettori delle loro coordinate rispetto alla base B, la proiezione su S è la funzione:

$(\mathbf x_1,\ldots,\mathbf x_k,\mathbf x_{k+1},\ldots,\mathbf x_n) \mapsto (\mathbf x_1,\ldots,\mathbf x_k,0,\ldots,0).$

In modo equivalente, se $\mathbf v$ e $\mathbf w$ sono vettori di $\R^n$ e ${\langle , \rangle}$ il prodotto scalare standard, si definisce proiezione di $\mathbf v$ lungo $\mathbf w$ il vettore $c \mathbf w$, dove il numero:

$c = {\langle \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle\over\langle \mathbf{w}, \mathbf{w}\rangle}$

è detto coefficiente di fourier. I vettori $\mathbf v - c\mathbf w$ e $\mathbf w$ sono allora perpendicolari.

Proiezione non ortogonale

La trasformazione T è la proiezione lungo k sulla retta m. L'immagine di T è m ed il nucleo è k.

In algebra lineare, la definizione di proiezione è estesa anche al caso in cui non ci sia un prodotto scalare, ma una somma diretta

$V = U\oplus W$

di uno spazio vettoriale V in due sottospazi U e W. In questo caso, ogni vettore $\mathbf v$ si scrive in un modo solo come

$\mathbf v = \mathbf u + \mathbf w \$

per qualche vettore $\mathbf u$ in U e $\mathbf w$ in W. La proiezione su U è definita semplicemente mandando ogni $\mathbf v$ nella sua componente $\mathbf u$.

Non è però ben definita la proiezione di uno spazio vettoriale su un sottospazio U, se non è specificato un supplementare W.

Ad esempio, U e V possono essere due rette distinte nel piano, come le due rette m e k mostrate in figura.

In geometria descrittiva una proiezione non ortogonale è detta proiezione obliqua.

Operatore e matrice di proiezione

Operatore

Una definizione più generale di proiezione, che generalizza le precedenti, è la seguente: un endomorfismo

$f:V\to V$

di uno spazio vettoriale V è un operatore di proiezione se è idempotente, cioè se

$f\circ f = f.$

Le proiezioni definite sopra sono tutte idempotenti.

Matrice

Analogamente, una matrice quadrata P è una matrice di proiezione se P² = P (dove si fa uso del prodotto fra matrici). Ad esempio,

$P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$

è una matrice di proiezione.

Questa nozione è strettamente collegata a quella di operatore di proiezione, poiché ogni matrice $n\times n$ rappresenta un endomorfismo di $\R^n$. In particolare, la P appena descritta rappresenta la proiezione ortogonale sul piano orizzontale z = 0:

$P \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}$

Le matrici seguenti rappresentano proiezioni ortogonali del piano $\R^2$ su una retta:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},\qquad \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} \cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta\\ \sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta\\ \end{bmatrix}.$

La matrice seguente rappresenta una proiezione non ortogonale sulla retta delle ascisse, simile alla T descritta sopra in figura:

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.$

Proprietà

Se P,P₁,P₂ sono operatori o matrici di proiezione, valgono le proprietà seguenti:

• Pⁿ = P per ogni numero naturale n > 0,
• Gli autovalori possibili di P sono +1 e 0,
• Se P₁ e P₂ "si annullano a vicenda", cioè P₁P₂ = P₂P₁ = 0, allora la loro somma P = P₁ + P₂ è ancora un operatore (o matrice) di proiezione.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2

Voci correlate

• Metodo di Monge
• Prospettività

Altri progetti

• Commons

• Wikimedia Commons contiene file multimediali su Proiezione (geometria)

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica