Processo di Poisson composto

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In calcolo delle probabilità, un processo di Poisson composto è un processo stocastico a tempo continuo su \mathbb N che compie dei salti la cui legge è associata a quella di un processo di Poisson, ma la cui lunghezza è determinata da una certa distribuzione scelta in precedenza.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Un processo di Poisson composto \{Y(t) : t \geq 0 \} è un processo stocastico definito da

Y(t) = \sum_{i=1}^{N(t)} D_i

Dove  \{N(t) : t \geq 0\} è un processo di Poisson di parametro λ e  \{D_i : i \geq 1\} sono variabili aleatorie indipendenti su \mathbb N, tutte con la stessa distribuzione D indipendente da N(t)


Un esempio può chiarire il concetto: consideriamo il numero dei tifosi che arrivano allo stadio a bordo di autobus dedicati.

Y(t) misura il numero dei tifosi pervenuti nel tempo  t , il processo di Poisson  N(t) conta il numero degli autobus giunti nel tempo  t mentre la variabile  D_i è il numero dei tifosi che ogni autobus trasporta.

La quantità di tifosi trasportati da ogni autobus e il numero di autobus che arrivano sono variabili indipendenti, ciascuna con la propria distribuzione (che per il numero di autobus è la distribuzione di Poisson).

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

\mathbb E(Y(t)) = \lambda t \mathbb E(D)
\operatorname{Var}(Y(t)) = \lambda t \mathbb E(D^2)
\mathbb E(e^{sY}) = e^{\lambda t \left ( M_D(s) - 1\right ) }

dove M_D(s) è la funzione generatrice dei momenti di D

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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