Problema delle monete

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In matematica, un problema delle monete è ciascuna classe di problemi della forma generale:

Si hanno solo certe monete da utilizzare, diciamo monete da sette-quatloo e da dieci-quatloo (il quatloo è una moneta presente in un episodio di Star Trek). Si possono avere di ciascun taglio quante monete si vogliano; si può fare il cambio esatto per ogni numero di quatloo, oppure si possono avere tutti i numeri da una certa quantità in poi? (Nell'esempio, non c'è modo di fare il cambio di otto quatloos, ma ogni numero più grande di Q53 può essere ottenuto.) Se è possibile, qual è la sua grandezza? (questo bisogno non riguarda solo le monete, ma la stessa domanda può essere posta per francobolli, scatole, o il numero di McNugget).

Se tutte le monete sono un numero pari di quatloos, non si possono fare i cambi esatti per nessun numero dispari di quatloos; questo sarà vero anche se i tagli delle monete hanno come divisore comune tre o numeri più grandi. In un linguaggio più preciso si ha:

Dati n interi positivi: a_1,a_2,\dotsb,a_n, il cui massimo comun divisore \operatorname{MCD}(a_1,\dots,a_n) è 1, trova il più grande numero N che non può essere espresso come
a_1x_1+a_2x_2+\dotsb+a_nx_n,
per qualche intero non-negativo x_1,x_2,\dotsb,x_n.

Se il massimo comun divisore non è uguale a 1 allora N non esiste, poiché solo i multipli del MCD possono essere scritti come combinazioni lineari come sopra; ma se il MCD è 1, allora N esiste. Il numero più grande trovato è chiamato a volte numero di Frobenius, mentre l'equazione Diofantea

b=a_1x_1+a_2x_2+\dotsb+a_nx_n

è a volte chiamata equazione di Frobenius.

Soluzioni[modifica | modifica wikitesto]

Il problema delle monete è stato risolto per n=1,2. Nessuna soluzione in forma chiusa è conosciuta per n>2.

n = 1[modifica | modifica wikitesto]

Se n=1, allora a meno che a_1=1, ci saranno infiniti numeri di interi positivi m che non potranno essere espressi come m=a_1x_1 (quelli che non sono divisibili per a_1).

n = 2[modifica | modifica wikitesto]

Se n=2, il numero di Frobenius può essere trovato dalla formula b=a_1a_2-a_1-a_2. Tale formula fu scoperta da James Joseph Sylvester nel 1884.

n = 3[modifica | modifica wikitesto]

Algoritmi veloci sono conosciuti per tre numeri, anche se il calcolo può essere molto noioso se svolto manualmente.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]


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