Principio di fase stazionaria

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In matematica, il principio di fase stazionaria è un principio di base dell'analisi asintotica, applicata agli integrali oscillatori:

I(k) = \int_a^b g(x) e^{ikf(x)}\,dx

in cui  i = \sqrt{-1} e k\rightarrow +\infty. Fu introdotto da Lord Kelvin nel 1877.

Ipotesi[modifica | modifica wikitesto]

Risultati[modifica | modifica wikitesto]

  • Se f(x) non possiede punti stazionari su a \leq x_0 \leq b, integrando per parti si ottiene:
I(k) \cong \frac{g(b)}{ik f'(b)} e^{ik f(b)} -  \frac{g(a)}{i k f'(a)} e^{ik f(a)}
  • Se f(x) è stazionario in un unico punto a<x_0<b
I(k)\cong g(x_0) \sqrt{\frac{2\pi}{k \left |{f''(x_0)}\right | }}e^{i \left [ k f(x_0)\pm\frac{\pi}{4}f''(x_0) \right] }
  • Se f(x) possiede un solo punto stazionario corrispondente al limite inferiore dell'integrale x_0=a
I(k) \cong \frac{g(b)}{i k f'(b)} e^{ik f(b)} 
+ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\pi}{k | f''(x_0)| }}g(x_0) e^{i k f(x_0)} e^{i \pm \frac{\pi}{4}}
  • Se f(x) possiede un solo punto stazionario corrispondente al limite superiore dell'integrale x_0=b
I(k) \cong -\frac{g(a)}{i k f'(a)} e^{ik f(a)} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\pi}{k | f''(x_0)| }}g(x_0) e^{ik f(x_0)} e^{i \pm \frac{\pi}{4}}

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]