Principio di fase stazionaria

In matematica, il principio di fase stazionaria è un principio di base dell'analisi asintotica, applicata agli integrali oscillatori:

$I(k) = \int_a^b g(x) e^{ikf(x)}\,dx$

in cui $i = \sqrt{-1}$ e $k\rightarrow +\infty$. Fu introdotto da Lord Kelvin nel 1877.

Ipotesi

• $x \in R$;
• $k$ è un numero intero, reale e tendente ad infinito;
• $f$ e $g$ sono due funzioni reali, continue e smooth $\forall x \in R$;

Risultati

• Se $f(x)$ non possiede punti stazionari su $a \leq x_0 \leq b$, integrando per parti si ottiene:

$I(k) \cong \frac{g(b)}{ik f'(b)} e^{ik f(b)} - \frac{g(a)}{i k f'(a)} e^{ik f(a)}$

• Se $f(x)$ è stazionario in un unico punto $a<x_0<b$

$I(k)\cong g(x_0) \sqrt{\frac{2\pi}{k \left |{f''(x_0)}\right | }}e^{i \left [ k f(x_0)\pm\frac{\pi}{4}f''(x_0) \right] }$

• Se $f(x)$ possiede un solo punto stazionario corrispondente al limite inferiore dell'integrale $x_0=a$

$I(k) \cong \frac{g(b)}{i k f'(b)} e^{ik f(b)} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\pi}{k | f''(x_0)| }}g(x_0) e^{i k f(x_0)} e^{i \pm \frac{\pi}{4}}$

• Se $f(x)$ possiede un solo punto stazionario corrispondente al limite superiore dell'integrale $x_0=b$

$I(k) \cong -\frac{g(a)}{i k f'(a)} e^{ik f(a)} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\pi}{k | f''(x_0)| }}g(x_0) e^{ik f(x_0)} e^{i \pm \frac{\pi}{4}}$

Voci correlate

• Metodo del punto a sella
• Trasformata di Fourier

Bibliografia

• Lord Kelvin (1887) Philosophical Magazine 23 p. 252; Proceedings of the Royal Society 83 p. 80.
• Bleistein, N. and Handelsman, R. (1975), Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, New York.
• E.T. Copson, Asymptotic Expansions, Cambridge University Press, 1965.

Collegamenti esterni

• M. Garbey e H. G. Kaper Asymptotic analysis: Working Note No. 2, Approximation of integrals Rapporto ANL/MCS-TM-180 (1993)

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