Principio dell'uniforme limitatezza

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In matematica, il principio dell'uniforme limitatezza o teorema di Banach-Steinhaus è uno dei risultati fondamentali in analisi funzionale e, insieme con il teorema di Hahn-Banach e con il teorema della funzione aperta, è considerato una delle basi di questa branca dell'analisi. Nella sua forma più semplice, esso afferma che per una famiglia di operatori lineari continui (e quindi limitati) definiti su uno spazio di Banach la limitatezza puntuale è equivalente alla limitatezza nella norma operatoriale.

Il teorema fu pubblicato per la prima volta nel 1927 da Stefan Banach e Hugo Steinhaus ma fu anche dimostrato indipendentemente da Hans Hahn.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Siano X uno spazio di Banach e Y uno spazio normato. Sia F sia una famiglia di operatori lineari continui (limitati) da X in Y tale che per tutti gli x in X risulti:

\sup \left\{\,\|Tx\|_Y : T \in F \,\right\} < \infty

Allora:

 \sup \left\{\, \|T\|_{B(X,Y)} : T \in F \;\right\} < \infty

dove con B(X,Y) si è indicato lo spazio degli operatori limitati da X in Y.

Il teorema può essere generalizzato in quanto l'ambiente naturale per il principio dell'uniforme limitatezza è uno spazio botte, dove vale una versione generalizzata del teorema (enunciata più avanti).

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni n\in\N si definisce l'insieme:

A_n \equiv \left\{x\in X: \|Tx\|\le n \quad \forall T\in F\right\}

Per ipotesi, per ogni x\in X esiste un indice naturale n=n(x) tale che \|Tx\|\le n per ogni T\in F, e pertanto si ha:

X=\cup_{n=1}^\infty A_n

Si osserva che, per la continuità di ogni elemento T di F, tutti gli insiemi A_n sono chiusi. Invocando il teorema della categoria di Baire si deduce che esiste un naturale m tale che \overline{A}_m=A_m ha interno non vuoto, vale a dire che esistono y\in X e \varepsilon>0 tali che:

B(y,\varepsilon)\subseteq T^{-1}\left(\left\{z: \|z\|\le m\right\}\right) \quad \forall T \in F

In altre parole si ha:

\|T(x+y)\|\le m \quad \forall x: \|x\|< \varepsilon \quad \forall T\in F

e quindi:

\|Tx\|\le \|T(x+y)\|+\|Ty\|\le m + \|Ty\| \quad \forall x: \|x\|<\varepsilon \quad \forall T\in F

Dato x\in X:

\|Tx\|=\left\|T\left(\frac{2\|x\|}{\varepsilon}\cdot \frac{\varepsilon}{2\|x\|}\cdot x\right)\right\| =
\frac{2\|x\|}{\varepsilon}\left\|T\left(\frac{\varepsilon}{2} \cdot \frac{x}{\|x\|}\right)\right\| \le \frac{2\|x\|}{\varepsilon}\left(m+\|Ty\|\right) \quad \forall T\in F

e segue che:

\|T\| = \sup_{\|x\| \le 1} \|Tx\| \le \sup_{\|x\| \le 1} \left[ \frac{2\|x\|}{\varepsilon}\left(m+\|Ty\|\right) \right] \le \frac{2}{\varepsilon}\left(m+\|Ty\|\right) \quad \forall T\in F

Con ciò il teorema è provato.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Condizioni meno restrittive per la validità del teorema si ottengono considerando uno spazio botte, dove vale la seguente versione del teorema. Dato uno spazio botte X ed uno spazio localmente convesso Y, ogni famiglia di operatori lineari puntualmente continui da X in Y è equicontinua (e anche uniformemente equicontinua).

In alternativa, l'enunciato vale anche quando X è uno spazio di Baire e Y uno spazio localmente convesso.

Una versione più debole del teorema considera gli spazi di Fréchet invece che spazi di Banach: sia X uno spazio di Fréchet, Y uno spazio normato e H una famiglia di operatori lineari continui da X in Y. Se per ogni x \in X si ha:

\sup\nolimits_{u\in H}\|u(x)\|<\infty

allora gli operatori in H sono equicontinui.

Corollari[modifica | modifica wikitesto]

Una prima conseguenza del principio è che se una successione di operatori limitati (T_n) converge puntualmente, ovvero il limite di (T_n (x)) esiste per tutti gli x \in X, allora tale limite puntuale definisce un operatore limitato T. Si nota che non si verifica che T_n converge a T nella norma operatoriale, cioè converge uniformemente su insiemi limitati. Tuttavia, T_n converge uniformemente a T su insiemi compatti grazie al fatto che (T_n) è limitata nella norma operatoriale e T è continuo.

Un secondo corollario è che ogni insieme S debolmente limitato in uno spazio normato Y è limitato. Infatti, gli elementi di S definiscono una famiglia puntualmente limitata di operatori lineari continui sullo spazio di Banach Y^*, duale continuo di Y. Per il principio dell'uniforme limitatezza la norma degli elementi di S, in quanto funzionali su Y^*, cioè la norma su Y^{**}, è limitata. Ma per ogni s \in S la norma in Y^{**} coincide con la norma in Y per il teorema di Hahn-Banach.

Sia L(X,Y) l'insieme degli operatori continui da X in Y, con la norma operatoriale. Se la collezione F non è limitata in L(X,Y) allora per il principio dell'uniforme limitatezza:

 R = \left \{ x \in X  \ : \ \sup\nolimits_{T \in F} \|Tx\|_Y = \infty \right \} \neq \varnothing

Infatti, R è denso in X. Il complementare di R in X è l'unione numerabile di insiemi chiusi \cup X_n. Per quanto visto nella dimostrazione del principio, ogni X_n è un insieme mai denso, ovvero il sottoinsieme \cup X_n è di prima categoria, e quindi R è il complementare di un sottoinsieme di prima categoria in uno spazio di Baire. Per definizione di spazio di Baire, tali insiemi (detti insiemi residui) sono densi. Tale ragionamento conduce al principio di condensazione delle singolarità, il quale afferma che se X è uno spazio di Banach, \{ Y_n \} una successione di spazi vettoriali normati e F_n una famiglia illimitata in L(X,Y_n), allora l'insieme:

 R = \left \{ x \in X \ : \ \forall n \in \mathbf{N} : \sup\nolimits_{T \in F_n} \|Tx\|_Y = \infty \right \}

è denso in X. Infatti, il complementare di R è l'unione numerabile:

\bigcup\nolimits_{n,m} \left \{ x \in X \ : \ \sup\nolimits_{T \in F_n} \|Tx\|_Y \le m \right \}

di insiemi di prima categoria, e quindi R è denso.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Conway, J. B. A Course in Functional Analysis. New York: Springer-Verlag, 1990.
  • (EN) Zeidler, E. Applied Functional Analysis: Applications to Mathematical Physics. New York: Springer-Verlag, 1995.
  • (FR) Stefan Banach, Hugo Steinhaus. Sur le principle de la condensation de singularités. Fundamenta Mathematicae, 9 50-61, 1927.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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