Primitiva (matematica)

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In analisi matematica, si dice primitiva (o antiderivata) $F(x) \,\!$ di una funzione reale di una variabile reale $f(x) \,\!$ quella funzione la cui derivata prima è uguale ad $f(x) \,\!$ stessa.

$F(x) \quad$ tale che $\quad \frac{dF(x)}{dx} = f(x)$

L'operazione di integrazione indefinita di una funzione restituisce la sua famiglia di primitive:

$\int{}f(x)dx=F(x)+C$

dove $C$ è una costante reale arbitraria. Si parla di famiglia di primitive poiché:

$d\frac{F(x)+C}{dx}=\frac{dF(x)}{dx}=f(x)$

Il primo teorema fondamentale del calcolo afferma che la funzione integrale di una data funzione ne è una sua primitiva.

[modifica] Principali primitive

Per approfondire, vedi la voce Categoria:Tavole di integrali.

$\int{x^{a}dx}=\frac{x^{a+1}}{ a+1}+C \,\$	con $a\neq -1 \,\$
$\int{\frac{1}{x}dx}=\log{\|x\|}+C \,\$
$\int{e^{x}}dx=e^{x}+C \,\$
$\int{a^{x}}dx=\frac{a^{x}}{\log{a}}+C \,\$	con $a>0 \,\$ , $a\neq1 \,\$
$\int{\sin{x}}dx=-\cos{x}+C \,\$
$\int{\cos{x}}dx=\sin{x}+C \,\$
$\int{\tan{x}}dx=\log{\|\cos{x}\|}+C \,\$
$\int{\cot{x}}dx=-\log{\|\sin{x}\|}+C \,\$
$\int{\sinh{x}}dx=\cosh{x}+C \,\$
$\int{\cosh{x}}dx=\sinh{x}+C \,\$
$\int{\tanh{x}}dx=\log{(\cosh{x})}+C \,\$
$\int{\coth{x}}dx=\log{\|(\sinh{x})\|}+C \,\$
$\int{\frac{1}{(\cos{x})^{2}}}dx=\tan{x}+C \,\$
$\int{\frac{1}{(\sin{x})^{2}}}dx=-\cot{x}+C \,\$
$\int{\frac{1}{(\cosh{x})^{2}}}dx=\tanh{x}+C \,\$
$\int{\frac{1}{(\sinh{x})^{2}}}dx=-\coth{x}+C \,\$
$\int{\frac{1}{(\sinh{x})^{2}}}dx=-\coth{x}+C \,\$
$\int{\frac{1}{1+x^{2}}}dx=\arctan{x}+C \,\$
$\int{\frac{1}{1-x^{2}}}dx=\frac{1}{2}\log{\frac{x+1}{x-1}}+C \,\$	con $\|x\| > 1 \,\$
$\int{\frac{1}{\sqrt[]{1-x^{2}}}}dx=\arcsin{x}+C \,\$
$\int{\frac{1}{\sqrt[]{1+x^{2}}}}dx=\log{\|x+\sqrt[]{1+x^{2}}\|}+C \,\$
$\int{\frac{1}{\sqrt[]{x^{2}-1}}}dx=\log{\|x+\sqrt[]{x^{2}-1}\|}+C \,\$	con $\|x\|>1 \,\$