Potenziale

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In fisica, il potenziale di un campo vettoriale conservativo è un campo scalare tale che il campo vettoriale ne costituisca il gradiente cambiato di segno. In formula, essendo V il campo vettoriale e U il suo potenziale:

\mathbf{V}(\mathbf{r}) = - \nabla U(\mathbf{r})

oppure, scritto per esteso nel caso tridimensionale:

V_x(x,y,z) = - \frac{\partial U}{\partial x}(x,y,z)
V_y(x,y,z) = - \frac{\partial U}{\partial y}(x,y,z)
V_z(x,y,z) = - \frac{\partial U}{\partial z}(x,y,z)

L'esistenza di una funzione U che soddisfi queste equazioni è garantita in quanto, per definizione, V è conservativo se e solo se essa esiste.

Il potenziale è sempre definito a meno di una costante additiva arbitraria (infatti eseguendo le derivate la costante si cancella) ed è proporzionale all'energia potenziale di un corpo immerso nel campo[1]; la costante di proporzionalità è la stessa che si ha tra l'intensità del campo e la forza agente sul corpo.

Ad esempio:

Indice

[modifica] Potenziale gravitazionale

Secondo la legge di gravitazione universale di Newton, il campo gravitazionale esercitato da un corpo puntiforme di massa M, che per semplicità consideriamo posto nell'origine degli assi cartesiani, è

\mathbf{g}(\mathbf{r}) = - G M \frac{\mathbf{r}}{r^3}

dove r è il modulo di r, mentre G è la costante di gravitazione universale. Di conseguenza il potenziale (per unità di massa) ha l'espressione

U(\mathbf{r}) = \frac{G M}{r} + C

(la verifica è lasciata al lettore). Per convenzione, la costante additiva C si pone uguale a zero: questo corrisponde a fissare la condizione al contorno che il potenziale si annulli per r tendente all'infinito (tende invece all'infinito per r tendente a zero).

Quando si consideri una regione limitata nei pressi della superficie terrestre, il campo gravitazionale della Terra si può approssimare con un vettore costante diretto verticalmente verso il basso. In questo caso l'espressione del potenziale è

U(z) = gz + C

dove g è il valore dell'accelerazione di gravità sulla superficie terrestre, pari a circa 9.8 m s-2. La costante C si determina fissando una quota di riferimento alla quale il potenziale è nullo.

[modifica] Potenziali in elettromagnetismo

Nell'elettromagnetismo si definiscono due potenziali: uno è un campo scalare, in accordo con la definizione soprascritta. L'altro è un campo vettoriale, per il quale vale una definizione simile ma diversa.

[modifica] Potenziale elettrostatico (scalare)

Il potenziale elettrostatico (o potenziale scalare) è il potenziale del campo elettrico. Essendo quest'ultimo definito dalla legge di Coulomb, che ha la stessa forma funzionale della legge di gravitazione (con la carica elettrica al posto della massa e la costante 1/4πε0 in luogo di G), anche il potenziale (solitamente indicato con V o con Φ) ha la stessa forma di quello elettromagnetico:

V(\mathbf{r}) = - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r}

L'introduzione di un potenziale così definito risulta comoda nel caso elettrostatico perché soddisfa automaticamente le equazioni di Maxwell nel caso statico.

[modifica] Il potenziale vettore

Il potenziale vettore, indicato solitamente con A, è un campo vettoriale tale che il vettore induzione magnetica B sia uguale al rotore di A:

\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}

Anche in questo caso la definizione non è univoca: B resta invariato se ad A sommiamo il gradiente di una qualsiasi funzione scalare:

\nabla \times \left( \mathbf{A} + \nabla C(\mathbf{r}) \right) = \nabla \times \mathbf{A}

Anche il potenziale vettore definito in questo modo risulta soddisfare automaticamente le equazioni di Maxwell nel caso statico.

Nel caso elettrodinamico bisogna modificare un po' le definizioni dei potenziali in modo da ottenere che due equazioni di Maxwell risultino immediatamente soddisfatte. Per quanto riguarda A, abbiamo ancora che è definito in modo che il suo rotore sia B:

\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}

mentre V è definito in modo che:

\nabla V = -E - \frac{\partial A}{\partial t}

[modifica] Note

  1. ^ Bisogna prestare particolare attenzione a non confondere il potenziale con l'energia potenziale, che sono grandezze diverse sia per quanto riguarda le unità di misura che per quel che concerne l'interpretazione fisica.

[modifica] Voci correlate

Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Potenziale"
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