Potenza (matematica)

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In matematica la potenza è un' operazione che associa ad una coppia di numeri a e n - detti rispettivamente base ed esponente - il numero dato dal prodotto di n fattori uguali ad a:

\begin{matrix} a^n:= & \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdots a } \\ & n\mbox{ volte} \end{matrix}

in questo contesto a può essere un numero intero, razionale o reale mentre n è un numero intero positivo.

Le potenze scritte nella forma an si leggono come elevato alla n o più semplicemente alla n. L’esponente è usualmente rappresentato come apice immediatamente a destra della base. Alcuni esponenti hanno un loro nome particolare. L’esponente due è spesso indicato come al quadrato (un numero alla seconda rappresenta l’area di un quadrato che abbia per lato quel valore) e l’esponente 3 come al cubo (un numero alla terza rappresenta il volume di un cubo che abbia per spigolo quel valore).

Esempi:

  • 3^2=3\cdot3=9 si legge tre alla seconda oppure tre al quadrato
  • 2^3=2\cdot2\cdot2=4\cdot2=8 si legge due alla terza oppure due al cubo
  • 3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=9\cdot9=81 si legge tre alla quarta oppure tre elevato alla quarta
  • \left(\frac 1 2 \right)^3 = \frac 1 2 \cdot \frac 1 2 \cdot \frac 1 2 = \frac 1 8 si legge un mezzo alla terza oppure un mezzo al cubo

L'operazione si estende ad n = 0 ponendo per ogni a \neq 0

a0: = 1,

e ad n negativi ponendo

a^{-k}:=\frac 1 {a^k},

Esempio

  • 10-3 = 1 / 103 = 0,001

Queste ultime definizioni, a prima vista poco comprensibili, si dimostrano essere ragionevoli quando si analizzano le proprietà delle potenze che vengono presentate di seguito.

Indice

[modifica] Proprietà

Le seguenti proprietà sono di immediata verifica nel caso in cui gli esponenti sono numeri interi positivi:

  • Il prodotto di due, o più, potenze aventi la stessa base, è una potenza avente per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti.
a^n \cdot a^m = a^{n+m} \;
  • Il quoziente di potenze aventi la stessa base è una potenza avente la stessa base dei fattori e come esponente la differenza tra l'esponente del dividendo e l'esponente del divisore
\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \;
  • La potenza di una potenza è una potenza in cui la base rimane la stessa e l'esponente è dato dal prodotto degli esponenti:
\left(a^n\right)^m = a^{n\cdot m} = \left(a^m\right)^n\;
  • Il quoziente di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi:
\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \;
\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \;Notiamo che la definizione a0: = 1 risulta ora più comprensibile poiché è consistente con le proprietà appena viste, infatti:
\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 = 1 \;

E lo stesso vale per la definizione di a − k, infatti:

a^{-x} = a^{0-x} = \frac{a^0}{a^x} = \frac{1}{a^x} \;
  • il prodotto di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi:

a^n*b^n=(a*b)^n \,\!

[modifica] Radici ed esponenti frazionari

Grafico di funzioni xa per esponenti maggiori di 1 (sotto la bisettrice degli assi), e minori di 1 (sopra la bisettrice)

Dato un numero a non negativo si chiama radice n-esima di a quel numero non negativo b tale che bn = a, tale numero si indica con \sqrt[n]a. Da questa definizione si ha subito che

\left(\sqrt[n]a\right)^n=a

quindi è ragionevole (in virtù delle proprietà delle potenze) porre

a^{1 \left/ n \right.} := \sqrt[n]a

in questo modo le proprietà delle potenze sono ancora rispettate, infatti

\left(a^{1 \left/ n \right.}\right)^n:= a^{\frac 1 n \cdot n}=a^1=a

come avveniva per la radice n-esima.

Più in generale la definizione di potenza può essere estesa ulteriormente, con alcune restrizioni, consentendo all'esponente di essere un numero razionale \frac x y, con x e y primi tra loro, se si pone:

a^{x \left/ y \right.} := \sqrt[y]{a^x}

In questo caso:

  • se x è positivo:
    • se y è dispari, la potenza è definita per qualsiasi a;
    • se y è pari, la potenza è definita per a non negativo;
  • se x è negativo:
    • se y è dispari, la potenza è definita per qualsiasi a non nullo;
    • se y è pari, la potenza è definita per a positivo.

Trascurando tali restrizioni si cade in assurdi quali:

-1=\sqrt[3]{-1}=(-1)^{\frac{1}{3}}=(-1)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-1)^2}=\sqrt[6]{1}=1

Il passaggio errato è il terzo, in quanto (-1)^{\frac{2}{6}} non è definito.

[modifica] Potenze ad esponente reale

È possibile estendere la definizione dell'operazione di elevamento a potenza anche ai casi in cui base ed esponente sono dei generici numeri reali (con la base però sempre positiva) facendo in modo che si conservino le regole di operazione tra potenze e che la funzione potenza risultante sia una funzione continua, e questa estensione è unica. Si può in tal modo dare senso a espressioni come 3^{\sqrt{2}} o eπ.

Definiamo inizialmente ab con la base a > 1 e l'esponente b > 0, entrambi numeri reali.

Possiamo scrivere b nella sua rappresentazione in base 10 con la scrittura:

b = b0,b1b2b3b4...

La successione dei numeri

β0 = b0
β1 = b0,b1
β2 = b0,b1b2
β3 = b0,b1b2b3
...

è una successione di numeri razionali crescente che tende a b.

La potenza a^{\beta_n} ha esponente razionale, quindi è stata definita. La successione di numeri reali

a^{\beta_0}
a^{\beta_1}
a^{\beta_2}
...

è una successione anch'essa crescente (poiché a > 1), risulta quindi naturale definire il valore di ab come l' estremo superiore di tale successione:

a^b:=\mbox{sup}_n\{a^{\beta_n}\}

Nel caso in cui la base fosse un numero compreso tra 0 e 1 si può definire:

ab: = ((a − 1)b) − 1

poiché a − 1 in questo caso è maggiore di 1 e quindi il secondo membro è definito.

[modifica] Voci correlate

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