Relazione d'ordine

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In matematica, più precisamente in teoria degli ordini, una relazione d'ordine o ordine su di un insieme è una relazione binaria tra elementi appartenenti all'insieme che gode delle seguenti proprietà:

Si definisce insieme parzialmente ordinato o insieme ordinato la coppia costituita da un insieme e da una relazione d'ordine su di esso.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Dati due insiemi A e B, il loro prodotto cartesiano è l'insieme delle coppie ordinate definito nel modo seguente:[1]

A\times B :=\{(a,b) : a \in A \; \mathrm{e} \; b\in B\} \

Si definisce relazione binaria R su un insieme A un sottoinsieme di A \times A.[2] Due elementi x e y sono messi in relazione da R se:

(x,y) \in R \

ed in tal caso si scrive xRy.

Una relazione d'ordine \le è una relazione binaria tra elementi di un insieme A riflessiva, antisimmetrica e transitiva.[3] Esplicitamente, tale relazione soddisfa le seguenti proprietà:

x \le x \quad \forall x \in A
x \le y e y \le x implica x=y \quad \forall x,y \in A
x \le y e y \le z implicano x \le z \quad \forall x,y,z \in A

Le relazioni d'ordine si indicano spesso anche con il simbolo insiemistico \subseteq. Meno utilizzati sono simboli dissimmetrici come \sqsubseteq e \preccurlyeq.

La coppia (S,\leq) costituita da un insieme e da una relazione d'ordine su di esso si dice insieme parzialmente ordinato o semplicemente insieme ordinato, da non confondere con il termine più specifico insieme totalmente ordinato. In lingua inglese un insieme parzialmente ordinato è anche detto concisamente poset (Partially Ordered Set), e questo termine è usato gergalmente anche nella lingua italiana.

Primi esempi[modifica | modifica sorgente]

Esempi ben noti di insiemi parzialmente ordinati sono:

  • gli insiemi numerici \mathbb N, \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R muniti della relazione d'ordine totale standard a R b \Leftrightarrow a \leq b,
  • l'insieme \mathbb N \backslash \{0\} munito della relazione di divisibilità a R b \Leftrightarrow a | b (cioè a è un divisore di b)
  • Una qualunque famiglia di insiemi munita della relazione di inclusione a R b \Leftrightarrow a \subseteq b (cioè a è sottoinsieme di b)

Ordine largo e ordine stretto[modifica | modifica sorgente]

Alcuni autori definiscono relazione d'ordine stretto una relazione  (S, <) che soddisfi le proprietà irriflessiva, antisimmetrica e transitiva (o, equivalentemente e più concisamente, le proprietà asimmetrica e transitiva), e quindi chiamano relazione d'ordine largo la relazione d'ordine  (S, \leq) definita sopra.

Benché le due definizioni siano distinte, il loro studio non presenta grosse differenze, in quanto tra le due classi di relazioni sussiste una corrispondenza biunivoca molto semplice. Sia S un insieme e denotiamo con \,\Delta(S) la diagonale di \,S\times S, \ \Delta(S):= \{ (s,s) : s\in S \} . Ad ogni relazione d'ordine stretto \,(S,R) è associata la relazione d'ordine largo \,(S,R\cup \Delta(S)); viceversa ad ogni relazione d'ordine largo \,(S,R') è associata la relazione d'ordine stretto \,(S,R'\setminus \Delta(S)).

Digrafo di una relazione d'ordine[modifica | modifica sorgente]

Grafo della relazione di divisibilità

Se l'insieme S è finito o numerabile la relazione d'ordine si può rappresentare visivamente mediante un digrafo (risp. finito o numerabile) i cui nodi sono gli elementi di S e tale che due nodi a e b sono connessi da un arco se e solo se a \leq b e non ci sono elementi intermedi tra di loro (cioè non esiste nessun c\ne a,b tale che a \leq c e c \leq b). Il grafo di una relazione d'ordine non può avere cicli, mentre può avere più componenti connesse e da ogni suo nodo può entrare ed uscire qualsiasi numero di archi; se il grafo è numerabile da un nodo possono entrare o uscire infiniti archi (questo è il caso della relazione di divisibilità).

Ordinamenti totali[modifica | modifica sorgente]

Due elementi a e b di un insieme ordinato \,(S,R)\, si dicono confrontabili se accade che a R b oppure che b R a. In generale due elementi di una relazione d'ordine parziale possono non essere confrontabili, cioè non sono necessariamente in relazione. Ad esempio in \mathbb N \backslash \{0\} munito della relazione di divisibilità gli elementi 2 e 3 non sono in relazione (nessuno dei due è divisore dell'altro) e vi sono coppie di sottoinsiemi di un dato ambiente tali che si trovano elementi del primo non appartenenti al secondo e viceversa, per cui nessuno dei due è sottoinsieme dell'altro.

Un insieme si dice totalmente ordinato se per ogni a,b \in S vale a \leq b oppure b \leq a. Gli ordini totali si chiamano anche ordini lineari e risultano tendenzialmente più semplici da trattare.


Il digrafo di un insieme totalmente ordinato si può rappresentare come un segmento o una retta o una semiretta su cui giacciono tutti i nodi (corrispondenti a tutti gli elementi dell'insieme).

Elementi massimali e minimali; massimi e minimi[modifica | modifica sorgente]

All'interno di un ordine possiamo trovare alcuni elementi che giocano un ruolo particolare. Supponiamo (S,\leq) un ordine: se esiste un m \in S tale che

\forall a \in S,\ m\leq a

allora si dice che m è l'elemento minimo di S. Dualmente si definisce elemento massimo di S un M \in S tale che

\forall a \in S,\ a\leq M.

L'elemento di massimo e l'elemento di minimo di S si indicano rispettivamente come

\max S \qquad \min S

Se l'insieme S è un insieme numerico con cardinalità maggiore di uno (\#S>1) allora scegliendo un suo sottoinsieme S_2 \subseteq S con cardinalità pari a 2 (\#S_2=2), si può definire il minimo tra i due soli elementi, a e b con la seguente relazione:

\min\{a,b\}=\mathbf{1}_{\mathbb{R}^-}(a-b) \cdot (a-b)+b

Il massimo tra i due elementi si trova invece con la seguente espressione

\max\{a,b\}=\mathbf{1}_{\mathbb{R}^+}(a-b) \cdot (a-b)+b

Dove con \mathbf{1} si è indicata la funzione indicatrice.

Spesso quando abbiamo a che fare con insiemi non totalmente ordinati è utile definire altri due concetti: quello di elemento minimale e massimale.

m si dice elemento minimale di S se

 a \in S,\ a \leq m \; \Rightarrow \; a = m;

M sarà invece un elemento massimale se

 a \in S,\ M \leq a \; \Rightarrow \; a = M .

In generale, massimo ed elemento massimale non sono la stessa cosa. Si pensi a \{2,3,4,5,6\} fornito della relazione di divisibilità. Esso non ammette né massimo né minimo, ma per esempio 3 è un elemento minimale, poiché x|3 è soddisfatto solo per x=3. Si presti attenzione inoltre che l'elemento 3 non può essere massimale. Se così fosse, allora 3 non dividerebbe nessun altro elemento dell'insieme, ma 3|6 che dimostra l'assurdità della asserzione dato che 3\ne6. Addirittura 5 è sia elemento massimale che minimale, poiché non è in relazione con nessun altro elemento dell'insieme diverso da se stesso. Dall'esempio è facile intuire che le due definizioni (massimo e elemento massimale; minimo e elemento minimale) coincidono in presenza di un ordine totale.

Consideriamo ora un sottoinsieme K di un insieme ordinato S. Esso eredita naturalmente, per restrizione, una sua struttura d'ordine e le relative proprietà. Per K si possono dare altre nozioni: un elemento z \in S si dirà un maggiorante per K se

\forall y \in K,\ y \leq z.

Un minorante sarà un t \in S tale che

\forall y \in K,\ t\leq y.

Ad esempio, -1 è un minorante per l'insieme dei numeri naturali con l'ordinamento classico. Ma lo è anche un qualsiasi altro numero negativo: da qua nasce la definizione di estremo superiore (risp. estremo inferiore), come quel maggiorante M (risp. minorante m) tale che

M\leq M' per ogni altro maggiorante M' (risp. m'\leq m per ogni altro minorante m').

Intervalli[modifica | modifica sorgente]

Se a\leq b, l'intervallo \, [a,b] è definito come l'insieme degli elementi x tali che a\leq x e x\leq b, in completa analogia con gli intervalli reali. Similmente si definiscono intervalli semiaperti o aperti, utilizzando l'ordine stretto <, e le semirette (-\infty,b]=\{x: x\leq b\} e [a,+\infty)=\{x: a\leq x\}.

Prodotto cartesiano di ordini[modifica | modifica sorgente]

Il prodotto cartesiano di due insiemi parzialmente ordinati può essere munito anch'esso di un ordine in più modi:

  • secondo il criterio dell'ordine lessicografico
  • secondo il confronto "termine a termine" (a_1, b_1) \leq (a_2, b_2) se a_1\leq a_2 e b_1\leq b_2 (l'ordine così formato è detto il prodotto diretto dei due ordini)
  • secondo la relazione (a_1, b_1) \leq (a_2, b_2) se a_1 < a_2 \wedge b_1 < b_2 o a_1=a_2 \wedge b_1= b_2

Se i due ordini sono totali, lo è anche l'ordine lessicografico, ma non necessariamente gli altri due.

Ordinamenti ben fondati[modifica | modifica sorgente]

Una relazione d'ordine su un insieme S si dice ben fondata o buon ordinamento se ogni sottoinsieme Y   \subseteq  S non vuoto è dotato di minimo.

Un tipico esempio di buon ordinamento è quello che stabilisce la relazione d'ordine standard sull'insieme \mathbb N dei numeri naturali. L'affermazione che i naturali sono un insieme ben ordinato, ovvero che ogni sottoinsieme X di \mathbb N ha un minimo viene talvolta chiamata Principio del buon ordinamento e si può dimostrare essere equivalente al Principio di induzione.

Il teorema del buon ordinamento[modifica | modifica sorgente]

Il teorema del buon ordinamento (da non confondere con il principio del buon ordinamento) asserisce che su ogni insieme non vuoto può essere definita una relazione d'ordine ben fondata (o buon ordinamento). Tale enunciato è equivalente all'assioma della scelta (cioè assumendolo vero si può dimostrare l'assioma della scelta e viceversa).

Catene e anticatene[modifica | modifica sorgente]

Facciamo riferimento ad un insieme parzialmente ordinato (S,\leq). Due elementi di S si dicono confrontabili se il primo è minore del secondo o viceversa; se nessuna delle due relazioni vale si dicono elementi inconfrontabili.

Si dice catena ogni sottoinsieme Y di S tale che la relazione d'ordine ridotta a Y costituisce un ordine totale. Per l'insieme parzialmente ordinato della divisibilità sono catene gli insiemi delle potenze positive di un numero primo e più in generale i sottoinsiemi ottenuti con un processo che inizia considerando un intero positivo e prosegue aggiungendo ad ogni passo un multiplo dell'intero aggiunto in precedenza. Si possono considerare catene finite o infinite; il processo precedente può essere finito o illimitato.

Si dice invece anticatena dell'insieme parzialmente ordinato (S,\leq) un sottoinsieme di S i cui elementi sono mutuamente inconfrontabili. Una anticatena dell'insieme parzialmente ordinato delle divisibilità è fornita dall'insieme dei numeri primi.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 1
  2. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 2
  3. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 3

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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