Poliedro composto

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La stella octangula è il più semplice poliedro composto, ottenuto con due tetraedri in posizione duale.

In geometria solida un poliedro composto è un poliedro ottenibile come unione di due o più poliedri aventi lo stesso centro.

Un altro genere di configurazione geometrica nella quale compaiono vari poliedri è la tassellazione dello spazio: in quel contesto i poliedri non hanno lo stesso centro ma si toccano lungo le facce in modo da riempire perfettamente lo spazio.

Poliedri collegati[modifica | modifica wikitesto]

Dato un poliedro composto  P , è possibile costruire altri poliedri.

L'inviluppo convesso dei vertici del poliedro composto è il poliedro convesso avente gli stessi vertici di P.

Si definisce invece cuore del poliedro composto l'intersezione di tutti i poliedri di cui è formato. Se questi poliedri sono convessi, anche il cuore lo è.

Ad esempio, la stella octangula mostrata in figura è la composizione di due tetraedri ed ha come inviluppo convesso un cubo e come cuore un ottaedro.

Composti regolari[modifica | modifica wikitesto]

Un poliedro composto regolare può essere definito come un poliedro composto che, come un poliedro regolare, sia omogeneo su vertici, spigoli e facce: per ogni coppia di vertici (o di spigoli o di facce) deve esistere una simmetria del poliedro che sposta uno dei due elementi nel secondo.

Con questa definizione vi sono 5 poliedri composti regolari.

Componenti Figura Inviluppo convesso Cuore Simmetria Duale
Stella octangula Stella octangula.png Cubo Ottaedro Oh se stesso
Cinque tetraedri nel dodecaedro Compound of five tetrahedra.png Dodecaedro Icosaedro I la sua immagine specchiata (è chirale)
Dieci tetraedri nel dodecaedro Compound of ten tetrahedra.png Dodecaedro Icosaedro Ih se stesso
Cinque cubi nel dodecaedro Dodecaedro Triacontaedro rombico Ih Cinque ottaedri nell'icosidodecaedro
Cinque ottaedri nell'icosidodecaedro Icosidodecaedro Icosaedro Ih Cinque cubi nel dodecaedro

I gruppi O_h e  I_h sono rispettivamente il gruppo di simmetria dell'ottaedro e dell'icosaedro. Il gruppo  I è il sottogruppo in I_h dato dalle simmetrie che preservano l'orientazione.

Il poliedro duale dei cinque tetraedri nel dodecaedro è l'immagine riflessa di se stesso; l'unione del poliedro e della sua immagine riflessa è il poliedro composto dieci tetraedri nel dodecaedro.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • H. M. Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.
  • Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7.
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