Pettine di Dirac

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Un pettine di Dirac è una serie infinita di funzioni delta di Dirac intervallati a una distanza T

In matematica, il pettine di Dirac (anche noto come treno di impulsi o funzione di campionamento in elettrotecnica, dove è una rappresentazione matematica del pettine di frequenze) è una distribuzione periodica costruito da una somma di delta di Dirac:

\Delta_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - k T)

con T periodo dato. Alcuni autori, in particolare Bracewell, così come alcuni autori di libro di testo di ingegneria elettrica e teoria dei circuiti, si riferiscono ad esso con il nome funzione Shah (forse perché il suo grafico ricorda la forma della lettera cirillica sha Ш). Poiché la funzione pettine di Dirac è periodica, può essere rappresentata come una serie di Fourier:

\Delta_T(t) = \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{i 2 \pi n t/T}.

Proprietà di riscalamento[modifica | modifica sorgente]

La proprietà di scala segue direttamente dalle proprietà della funzione delta di Dirac

\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - k T) = |\alpha|\cdot \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta\bigg(\alpha\cdot (t - k T)\bigg).

Serie di Fourier[modifica | modifica sorgente]

È chiaro che Δ T (t) è periodica con periodo T. Ovvero

\Delta_T(t+T) = \Delta_T(t)

per ogni t. La serie di Fourier per una tale funzione periodica è

 \Delta_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i 2 \pi n t/T} \

dove i coefficienti di Fourier, c n sono

c_n = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} \Delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \quad ( -\infty
= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \Delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \
= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \
= \frac{1}{T} e^{-i 2 \pi n \, 0/T} \
= \frac{1}{T}. \

Tutti i coefficienti di Fourier sono 1 / T e quindi:

\Delta_T(t) = \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{i 2 \pi n t/T}.

Trasformata di Fourier[modifica | modifica sorgente]

La trasformata di Fourier di un pettine di Dirac è anche un pettine di Dirac (proprietà condivisa con la funzione gaussiana di varianza 1). Utilizzando rispettivamente la frequenza o la frequenza angolare la trasformazione si scrive:

Alle seguenti formule spesso ci si riferisce con il nome di "seconda formula di Poisson": infatti essa è unica, ma qui di seguito se ne mostreranno due rappresentazioni equivalenti:

nel dominio della frequenza:

\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - n T) \quad \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad {1\over T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( f - {k\over T} \right) \quad = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{i2\pi fnT}.

nel dominio della pulsazione:

\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - n T) \quad \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad \frac{2\pi }{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -k \frac{2\pi }{T}\right) \quad = \frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{i\omega nT}.

Campionamento e aliasing[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema del campionamento di Nyquist-Shannon.

La ricostruzione di un segnale continuo da campioni prelevati a intervalli di campionamento T è fatto da una sorta di interpolazione, come per esempio la formula di interpolazione di Whittaker-Shannon. Matematicamente questo processo è spesso modellata come l'output di un filtro passa-basso il cui ingresso è un pettine di Dirac i cui denti sono stati ponderati in base ai valori del campione. Tale pettine è equivalente al prodotto di un pettine di Dirac con il segnale originale continuo. Questa astrazione matematica è spesso descritta come "campionamento" ai fini di introdurre i temi dell'aliasing e il teorema del campionamento di Nyquist-Shannon.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Note[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) R.N. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications, revised, McGraw-Hill, 1986. ; 1 ° ed. 1965, 2ª ed. 1978.
  • (EN) A Córdoba, Dirac combs in Letters in Mathematical Physics, vol. 17, nº 3, 1989, pp. 191–196, DOI:10.1007/BF00401584.