Paradosso di Richard

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Il paradosso di Richard è stato proposto dal matematico francese Jules Antoine Richard nel 1905. Esso può essere illustrato nei seguenti termini.

Prendiamo in considerazione un vocabolario costituito da un numero esteso (ma ovviamente finito) di parole e di segni. Fissiamo poi l'attenzione su quelle frasi, formate da elementi del nostro vocabolario, che definiscono in maniera univoca specifici numeri reali costruibili. Esempi di frasi di questo tipo sono "il numero il cui quadrato è due" (composta da 7 parole); "il numero dato dal rapporto tra la lunghezza della circonferenza e quella del diametro del medesimo cerchio" (composta da 17 parole).

Sia Rn l'insieme – ovviamente finito – dei numeri reali definibili con n parole e segni del nostro vocabolario. Consideriamo ora l'insieme R dato dall'unione di tutti gli insiemi Rn (con n = 3,4,5, …): R è ovviamente numerabile e possiamo ordinare i suoi elementi nella successione r1, r2, r3, …. R rappresenta dunque l'insieme di tutti e soli quei numeri reali definibili con un numero finito di elementi del nostro vocabolario.

Consideriamo ora il numero r (possiamo battezzarlo numero di Richard) definito nel modo seguente:

il numero la cui parte intera è zero, mentre (per ogni i) il suo i-esimo decimale è ottenuto aumentando di uno l'i-esimo decimale del numero ri appartenente ad R (con l'avvertenza che se tale decimale fosse 9 lo si sostituisce con zero).

Da un lato, possiamo constatare dalla frase sopra riportata che r è un numero reale definibile con una quantità finita di parole o segni del nostro vocabolario e quindi deve essere incluso in R; dall'altro lato, esso (per il modo in cui è costruito) è diverso da tutti i numeri reali contenuti in R e quindi non vi risulta incluso. Di qui il paradosso.

La costruzione di r fa uso della procedura diagonale utilizzata da Cantor per dimostrare la non numerabilità dei numeri reali. Il paradosso di Richard – come quello di Berry e di Zermelo-König – fa parte dei così detti paradossi semantici. Il suo interesse nell'ambito dello studio dei fondamenti logici della matematica sta nell'aver, in qualche modo, aperto la strada alla prova di incompletezza di Gödel.

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