Paradosso delle tre carte

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Viene detto paradosso delle tre carte un classico problema del calcolo delle probabilità che pur nella sua semplicità ha una soluzione abbastanza controintuitiva: ci sono tre carte, delle quali la prima (A) è rossa su entrambi i lati, la seconda (B) su un lato è rossa e sull'altro è bianca e la terza (C) è bianca su entrambi i lati. Ponendo su un tavolo una delle tre carte, scelta a caso, ottengo che il lato visibile è di colore rosso. Qual è la probabilità che anche il lato non visibile sia di colore rosso?

La risposta intuitiva porta solitamente a rispondere che la probabilità ricercata sia pari al 50%, in quanto solo due carte (la A e la B) possono mostrare il colore rosso e solo una di queste (la A) può mostrare anche sull'altro lato il colore rosso; tuttavia si dimostra che la risposta giusta è 2/3.

Soluzione[modifica | modifica wikitesto]

Ci sono in tutto 6 facce, delle quali 3 sono rosse e 3 sono bianche. Denominiamo 1 e 2 le due facce che appartengono alla carta rossa su entrambi i lati; denominiamo 3 la faccia rossa della carta rossa su un lato e bianca sull'altro. È possibile che la faccia visibile all'inizio del gioco sia 1, 2 o 3, con uguale probabilità. Su tre possibili casi, due comportano che la faccia non visibile sia rossa: 1 e 2. Pertanto la probabilità che il lato non visibile sia rosso è di 2/3. L'intuizione suggerisce la risposta sbagliata perché porta a non distinguere le facce 1 e 2 come eventi distinti.

Dimostrazione assiomatica o frequentista[modifica | modifica wikitesto]

Estraendo una carta e posandola sul tavolo si possono verificare i seguenti sei casi equoprobabili, che possono capitare in maniera egualmente frequente

  1. lato visibile = Aa = rosso, lato nascosto = Ab = rosso
  2. lato visibile = Ab = rosso, lato nascosto = Aa = rosso
  3. lato visibile = Ba = rosso, lato nascosto = Bb = bianco
  4. lato visibile = Bb = bianco, lato nascosto = Ba = rosso
  5. lato visibile = Ca = bianco, lato nascosto = Cb = bianco
  6. lato visibile = Cb = bianco, lato nascosto = Ca = bianco

escludendo gli ultimi tre casi in quanto il lato visibile è bianco, rimangono tre casi dove il lato visibile è rosso, due dei quali nascondono un lato anch'esso rosso, dunque la probabilità è di 2/3.

Dimostrazione con il teorema di Bayes[modifica | modifica wikitesto]

La probabilità condizionata cercata è

P(lato invisibile rosso | lato scoperto rosso) = P(carta con 2 lati rossi | lato scoperto rosso)

che sinteticamente possiamo scrivere P(A|R) dove A è la carta che ha entrambi i lati rossi e P(A) è la probabilità che essa venga scelta, P(R) è invece la probabilità che il lato visibile sia rosso.

Utilizzando il teorema di Bayes:
P(A|B) = P(R|A) * P(A) / P(R)

Essendo

P(R|A)=1, ovvero il lato scoperto della carta A è sicuramente rosso.
P(A)=1/3, la probabilità di scegliere la carta A è 1/3.

Il lato scoperto rosso può derivare dalla carta A o dalla B, ma mentre per la A la probabilità è 1, per la B è 1/2:

P(R) = P(A) * P(R|A) + P(B) * P(R|B) = 1/3 * 1 + 1/3 * 1/2 = 1/2

allora

P(A|B) = P(R|A) * P(A) / P(R) = 1 * 1/3 / 1/2 = 2/3

Le origini[modifica | modifica wikitesto]

Questo è il testo originale del paradosso, proposto da Warren Weaver nel 1950:

« Giochiamo con tre carte. Una è bianca su entrambi i lati, una è rossa su entrambi i lati e una è bianca da un lato e rossa dall'altro. Ogni carta è nascosta in una scatoletta nera.

Il giocatore sceglie una delle tre scatolette, estrae la carta e la posa sul tavolo in modo che sia visibile un solo lato. Supponiamo che il lato che si vede sia bianco. Il conduttore propone al giocatore di scommettere alla pari che è bianco anche l'altro lato della carta (se è bianco vince il conduttore, se è rosso vince il giocatore). Conviene al giocatore accettare la scommessa? Perché? »

Paradosso delle tre scatole[modifica | modifica wikitesto]

In realtà, una versione perfettamente analoga del problema era già stata presentata da Joseph Bertrand nel suo libro Calcul des probabilités: ci sono tre scatole, di cui la prima contiene due monete d'oro, la seconda due monete d'argento e la terza una d'oro ed una d'argento: se estraendo una moneta a caso da una scatola a caso ci si ritrova in mano una moneta d'oro, qual è la probabilità che anche l'altra nella scatola lo sia?

La soluzione è anche in questo caso 2/3.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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