Paradosso delle tre carte

Viene detto paradosso delle tre carte un classico problema del calcolo delle probabilità che pur nella sua semplicità ha una soluzione abbastanza controintuitiva: ci sono tre carte, delle quali la prima (A) è rossa su entrambi i lati, la seconda (B) su un lato è rossa e sull'altro è bianca e la terza (C) è bianca su entrambi i lati. Ponendo su un tavolo una delle tre carte, scelta a caso, ottengo che il lato visibile è di colore rosso. Qual è la probabilità che anche il lato non visibile sia di colore rosso?

La risposta intuitiva porta solitamente a rispondere che la probabilità ricercata sia pari al 50%, in quanto solo due carte (la A e la B) possono mostrare il colore rosso e solo una di queste (la A) può mostrare anche sull'altro lato il colore rosso; tuttavia si dimostra che la risposta giusta è 2/3.

Soluzione

Ci sono in tutto 6 facce, delle quali 3 sono rosse e 3 sono bianche. Denominiamo 1 e 2 le due facce che appartengono alla carta rossa su entrambi i lati; denominiamo 3 la faccia rossa della carta rossa su un lato e bianca sull'altro. È possibile che la faccia visibile all'inizio del gioco sia 1, 2 o 3, con uguale probabilità. Su tre possibili casi, due comportano che la faccia non visibile sia rossa: 1 e 2. Pertanto la probabilità che il lato non visibile sia rosso è di 2/3. L'intuizione suggerisce la risposta sbagliata perché porta a non distinguere le facce 1 e 2 come eventi distinti.

Dimostrazione assiomatica o frequentista

Estraendo una carta e posandola sul tavolo si possono verificare i seguenti sei casi equoprobabili, che possono capitare in maniera egualmente frequente

1. lato visibile = Aa = rosso, lato nascosto = Ab = rosso
2. lato visibile = Ab = rosso, lato nascosto = Aa = rosso
3. lato visibile = Ba = rosso, lato nascosto = Bb = bianco
4. lato visibile = Bb = bianco, lato nascosto = Ba = rosso
5. lato visibile = Ca = bianco, lato nascosto = Cb = bianco
6. lato visibile = Cb = bianco, lato nascosto = Ca = bianco

escludendo gli ultimi tre casi in quanto il lato visibile è bianco, rimangono tre casi dove il lato visibile è rosso, due dei quali nascondono un lato anch'esso rosso, dunque la probabilità è di 2/3.

Dimostrazione con il teorema di Bayes

La probabilità condizionata cercata è

Pr(lato invisibile è rosso | lato scoperto è rosso)

dove i lati rossi sono: Aa, Ab e Ba (e quelli bianchi: Bb, Ca, Cb), per cui si può scrivere

Pr(Aa+Ab+Ba|Aa+Ab+Ba)

che, utilizzando il teorema di Bayes viene riformulata in

= Pr(Aa+Ab+Ba|Aa+Ab+Ba) * Pr(Aa+Ab+Ba) / ( Pr(Aa+Ab+Ba|Aa+Ab+Ba) * Pr(Aa+Ab+Ba) + Pr(Aa+Ab+Ba|Bb+Ca+Cb) * Pr(Bb+Ca+Cb) )

Essendo

Pr(Aa+Ab+Ba)=1/2, ovvero metà dei lati sono rossi

Pr(Bb+Ca+Cb)=1/2, e l'altra metà sono bianchi

Pr(Aa+Ab+Ba|Aa+Ab+Ba) = Pr(Aa|Aa+Ab+Ba) + Pr(Ab|Aa+Ab+Ba) + Pr(Ba|Aa+Ab+Ba) = 1/3 + 1/3 + 0 = 2/3

Pr(Aa|Aa+Ab+Ba) = Pr(Aa+Ab+Ba|Aa) * Pr(Aa) / Pr(Aa+Ab+Ba) = 1 * 1/6 * 2 = 2/6 = 1/3

Pr(Aa+Ab+Ba|Aa) = Pr(Aa|Aa) + Pr(Ab|Aa) + Pr(Ba|Aa)= 0+1+0 = 1

Pr(Aa) = 1/6

Pr(Aa+Ab+Ba) = 1/2

Pr(Ab|Aa+Ab+Ba) = 1/3, ottenuto in modo analogo

Pr(Ba|Aa+Ab+Ba) = 0, comprensibile in modo intuitivo, in quanto se il lato visibile appartiene alla carta A il retro non può appartenere alla carta B e se il lato visibile è Ba non è possibile che anche il lato coperto sia Ba:

Pr(Aa+Ab+Ba|Ba) = Pr(Aa|Ba) + Pr(Ab|Ba) + Pr(Ba|Ba)= 0 + 0 + 0 = 0

in maniera analoga si mostra che

Pr(Aa+Ab+Ba|Bb+Ca+Cb) = Pr(Aa|Bb+Ca+Cb) + Pr(Ab|Bb+Ca+Cb)+ Pr(Ba|Bb+Ca+Cb) = 0 + 0 + 1/3 = 1/3

per cui

Pr(lato invisibile è Rosso | lato scoperto è rosso) = 2/3*1/2 / (2/3*1/2 + 1/3*1/2) = 2/3

Le origini

Questo è il testo originale del paradosso, proposto da Warren Weaver nel 1950:

« Giochiamo con tre carte. Una è bianca su entrambi i lati, una è rossa su entrambi i lati e una è bianca da un lato e rossa dall'altro. Ogni carta è nascosta in una scatoletta nera. Il giocatore sceglie una delle tre scatolette, estrae la carta e la posa sul tavolo in modo che sia visibile un solo lato. Supponiamo che il lato che si vede sia bianco. Il conduttore propone al giocatore di scommettere alla pari che è bianco anche l'altro lato della carta (se è bianco vince il conduttore, se è rosso vince il giocatore). Conviene al giocatore accettare la scommessa? Perché? »

Paradosso delle tre scatole

In realtà, una versione perfettamente analoga del problema era già stata presentata da Joseph Bertrand nel suo libro Calcul des probabilités: ci sono tre scatole, di cui la prima contiene due monete d'oro, la seconda due monete d'argento e la terza una d'oro ed una d'argento: se estraendo una moneta a caso da una scatola a caso ci si ritrova in mano una moneta d'oro, qual è la probabilità che anche l'altra nella scatola lo sia?

La soluzione è anche in questo caso 2/3.

Voci correlate

• Problema di Monty Hall
• Warren Weaver e Martin Gardner, che hanno descritto questo problema
• Paradosso dei due bambini

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