Paradossi di Zenone

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

I paradossi di Zenone ci sono stati tramandati attraverso la citazione che ne fa Aristotele nella sua Fisica. Zenone di Elea, discepolo ed amico di Parmenide, per sostenere l'idea del maestro, che la realtà è costituita da un Essere unico e immutabile, propose alcuni paradossi che dimostrano, secondo questi, l'impossibilità della molteplicità e del moto, nonostante le apparenze della vita quotidiana.

Le argomentazioni di Zenone costituiscono forse i primi esempi del metodo di dimostrazione noto come reductio ad absurdum o dimostrazione per assurdo. Sono anche considerate un primo esempio del metodo dialettico, usato in seguito dai sofisti e da Socrate ed inoltre furono il primo strumento che mise in difficoltà l'ambizione dei pitagorici di ridurre tutta la realtà in numeri.

Oggi non si attribuisce valore fisico alle argomentazioni di Zenone, ma la loro influenza è stata molto importante nella storia del pensiero filosofico e matematico.

I paradossi di Zenone restano anche un utile esercizio di logica, per riflettere sulla modalità di costruzione dei ragionamenti umani. Si ricordano due paradossi contro il pluralismo e quattro contro il movimento.

Paradossi contro il pluralismo[modifica | modifica wikitesto]

Primo paradosso[modifica | modifica wikitesto]

Il primo paradosso, contro la pluralità delle cose, sostiene che se le cose sono molte, esse sono allo stesso tempo un numero finito e un numero infinito: sono finite in quanto esse sono né più né meno di quante sono, e infinite poiché tra la prima e la seconda ce n'è una terza e così via.

Secondo paradosso[modifica | modifica wikitesto]

Il secondo paradosso invece sostiene che se queste unità non hanno grandezza, le cose da esse composte non avranno grandezza, mentre se le unità hanno una certa grandezza, le cose composte da infinite unità avranno una grandezza infinita.

Paradossi contro il movimento[modifica | modifica wikitesto]

Primo paradosso (lo stadio)[modifica | modifica wikitesto]

Il primo argomento contro il movimento è quello sullo stadio.

Esso afferma che non si può giungere all'estremità di uno stadio senza prima aver raggiunto la metà di esso, ma prima di raggiungerla si dovrà raggiungere la metà della metà e così via senza quindi mai riuscire nemmeno ad iniziare la corsa.

Secondo Giorgio Colli, sono due le versioni tramandate del paradosso (una è quella citata sopra), e andrebbe preferita la seguente espressione:

Non si può giungere all'estremità di uno stadio senza prima aver raggiunto la metà di esso, ma una volta raggiunta la metà si dovrà raggiungere la metà della metà rimanente e così via, senza quindi mai riuscire a raggiungere l'estremità dello stadio.

Il paradosso sarebbe dunque molto simile a quello di Achille e la tartaruga (che è una formulazione più suggestiva della dicotomia all'infinito) e meno simile a quello della freccia (nel quale è dimostrata l'impossibilità dell'inizio del movimento).

Secondo paradosso (Achille e la tartaruga)[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Paradosso di Achille e la tartaruga.

Il Paradosso di Achille e la tartaruga - uno dei paradossi di Zenone più famosi - afferma che se Achille (detto "pie' veloce") venisse sfidato da una tartaruga nella corsa e concedesse alla tartaruga un piede di vantaggio, egli non riuscirebbe mai a raggiungerla, dato che Achille dovrebbe prima raggiungere la posizione occupata precedentemente dalla tartaruga che, nel frattempo, sarà avanzata raggiungendo una nuova posizione che la farà essere ancora in vantaggio; quando poi Achille raggiungerà quella posizione nuovamente la tartaruga sarà avanzata precedendolo ancora. Questo stesso discorso si può ripetere per tutte le posizioni successivamente occupate dalla tartaruga e così la distanza tra Achille e la lenta tartaruga pur riducendosi verso l'infinitamente piccolo non arriverà mai ad essere pari a zero.

In pratica, posto che la velocità di Achille (V_a) sia N volte quella della tartaruga (V_t) le cose avvengono così:

  • dopo un certo tempo t_1 Achille arriva dove era la tartaruga alla partenza (L_1).
  • nel frattempo la tartaruga ha compiuto un pezzo di strada e si trova nel punto L_2.
  • occorre un ulteriore tempo t_2 per giungere in L_2.
  • ma nel frattempo la tartaruga è giunta nel punto L_3 ... e così via.

Quindi per raggiungere la tartaruga Achille impiega un tempo

T = t_1 + t_2 + t_3 + ... + t_n+...

e quindi non la raggiungerà mai, sebbene comunque la distanza tra T (Tartaruga) e A (Achille) si possa sempre più restringere.

Terzo paradosso (la freccia)[modifica | modifica wikitesto]

Il terzo argomento è quello della freccia, che appare in movimento ma, in realtà, è immobile. In ogni istante difatti essa occuperà solo uno spazio che è pari a quello della sua lunghezza; e poiché il tempo in cui la freccia si muove è fatto di singoli istanti, essa sarà immobile in ognuno di essi.

Il concetto di questo terzo paradosso è in fondo opposto a quello del secondo: l'esistenza di punti e istanti indivisibili. Ma anche in questo caso il movimento risulta impossibile, in quanto dalla somma di istanti immobili non può risultare un movimento.

Quarto paradosso (due masse nello stadio)[modifica | modifica wikitesto]

Nell’immagine, i due corridori, A e B, corrono in senso opposto: A avrà, quindi, la sensazione di spostarsi molto più velocemente di come accade nella realtà, e cioè di una velocità pari alla sua sommata a quella del corridore B; lo stesso accade a B. L’osservatore C, invece, è fermo, e riesce a percepire la velocità reale dei due corridori.

Zenone afferma che se due masse in uno stadio si vengono incontro, risulterà l'assurdo logico che la metà del tempo equivale al doppio.

Consideriamo infatti tre segmenti (A, B, C) uguali e paralleli, che si trovino allineati. Supponiamo poi che il segmento in alto (A) si muova verso destra, rispetto a quello situato nel centro (B) che resta fermo, e che per ogni istante elementare avanzi di un intervallo (elementare). Il segmento in basso (C) faccia invece la stessa cosa verso sinistra. Dopo il primo istante avremo che i punti iniziali di A e C si saranno allontanati di due intervalli. Ma ciò è assurdo perché allora il tempo che avrebbero impiegato per allontanarsi di un solo intervallo sarebbe di "mezzo istante", contraddicendo l'ipotesi che stiamo analizzando la situazione al primo istante (indivisibile).

Questo argomento indusse alcuni ad affermare che Zenone aveva inconsapevolmente anticipato la teoria della relatività. Ma con questa radicale differenza: ciò che per Einstein è realtà (la relatività del movimento) per Zenone è invece un assurdo logico, che, testimoniando l'impensabilità razionale del nostro mondo, conferma la tesi parmenidea circa il suo carattere apparente o illusorio.

Proposte di soluzioni ai paradossi del moto[modifica | modifica wikitesto]

Non è difficile immaginare che anche un greco, ignaro dei rudimenti del calcolo infinitesimale, "vedesse" altrettanto bene che ogni somma: un segmento + mezzo segmento + un quarto di segmento + ecc. rimane sempre all'interno del segmento doppio. Tale critica alle moderne "pseudoconfutazioni" è stata ampiamente sviluppata, su basi kantiane, dal matematico Umberto Bartocci, il quale invita invece a riflettere sulla circostanza che i paradossi di Zenone sul movimento vanno considerati sempre attuali e "non risolubili", in quanto puntano l'attenzione sulle dicotomie reale/pensato e spazio(continuo)/tempo(discreto)[1].

I paradossi in realtà, se correttamente intesi, non possono essere confutati. Essi non mirano a confutare il moto in sé, ma la sua formalizzazione matematica, constatando l'inadeguatezza di un sistema formale (nel caso specifico quella di un insieme numerico denso come R) nel descrivere la realtà fisica (il tempo e lo spazio). Infatti anche al giorno d'oggi con l'analisi infinitesimale non possiamo che confermare che prima che Achille raggiunga la tartaruga dovranno passare infiniti istanti.

Nel caso specifico di Achille e della tartaruga la serie dei tempi t_i converge a

\ T= L_1/(V_a-V_t)

Sia infatti

t_1=\frac{L_1}{V_a}

il tempo che Achille impiega a raggiungere la posizione iniziale occupata dalla tartaruga. La distanza percorsa dalla tartaruga in tale tempo è pari a

L_2=V_tt_1=L_1\frac{V_t}{V_a}

che Achille ricoprirà in un tempo

t_2=\frac{L_2}{V_a}=\frac{L_1}{V_a}\frac{V_t}{V_a}.

Iterando il procedimento n volte si giunge a scrivere

t_n=\frac{L_1}{V_a}\left(\frac{V_t}{V_a}\right)^{n-1}

e

L_n=L_1\left(\frac{V_t}{V_a}\right)^{n-1};

pertanto il tempo totale T e la distanza totale L percorsa sono dati rispettivamente da

T=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n t_i=\frac{L_1}{V_a}\cdot\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\left(\frac{V_t}{V_a}\right)^i=\frac{L_1}{V_a}\frac{V_a}{V_a-V_t}=\frac{L_1}{V_a-V_t}

e

L=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n L_i=L_1\frac{V_a}{V_a-V_t}

con l'ovvio vincolo di convergenza V_a > V_t.

Una prima dimostrazione di convergenza delle serie infinite non geometriche è stata data, nel solo caso particolare di

\ \sum_1^{\infty}\frac n {2^n}

solo nel XIV secolo da Richard Swineshead.

Il caso generale venne dimostrato nel XVII secolo, mentre Zenone espose i suoi paradossi nel V secolo a.C. La tecnica mostrata da Zenone nella suddivisione infinitesimale va sotto il nome di dicotomia.

Si può aggiungere che la precedente spiegazione, che fa ricorso alla teoria delle serie convergenti, è alquanto diffusa nell'ambiente dei matematici[2], ma lo è forse perché assai "comoda", in quanto permette di non riflettere più a fondo su una questione che si presume facilmente superabile grazie ai successivi progressi avvenuti nel campo della disciplina.

Nel paradosso delle masse dello stadio, Zenone dimostra che uno spazio e un tempo assoluti non corrispondono alla realtà. Oggi infatti sappiamo, per la relatività ristretta, che le velocità possibili di un corpo non sono illimitate superiormente. L'errore di fondo sta nel considerare lo spazio e il tempo come entità separate. Anche in quello della freccia, egli suppone che un corpo in moto sia indistinguibile da uno in quiete. Sono trascorsi 2500 anni prima di raggiungere le conoscenze necessarie a confermare il paradosso. Lo spazio e il tempo infatti non sono da considerarsi assoluti.

In genere si è sempre osservato che gli argomenti di Zenone si basano sul concetto di infinito. Per il paradosso della freccia, ad esempio, Bertrand Russell ha osservato che il cinematografo crea il movimento utilizzando una successione di immagini ferme. Ma questa è soltanto una disputa sul significato di moto, secondo la quale il moto sarebbe un'illusione cinematografica.

Esiste un'altra visione dei paradossi di Zenone: un atto "semplice" viene scomposto e descritto attraverso una successione infinita di atti.

Effetto Zenone quantistico[modifica | modifica wikitesto]

Come si può vedere, questi paradossi sono stati utili per sviluppare molti concetti alla base della matematica e della fisica moderne, e non si dovrebbe liquidarli banalmente. Persino nella meccanica quantistica riecheggia il nome di Zenone nel cosiddetto "effetto Zenone quantistico", che, riprendendo metaforicamente il paradosso della freccia, afferma che un sistema, che decadrebbe spontaneamente, è inibito o addirittura non decade affatto se sottoposto ad una serie infinita di osservazioni (o misure). Di recente vari esperimenti:

  • l'esperimento di Itano et al.(1990), basatosi sull'idea di Cook (1988),
  • quello di Kwiat et al. (1995) sulla polarizzazione dei fotoni,
  • e quello di Fischer et al. (2001),

hanno dato verifica sperimentale di questo effetto.

Il paradosso di Achille e la tartaruga in letteratura[modifica | modifica wikitesto]

Il Paradosso di Achille e la tartaruga ha ispirato diversi scrittori.

  • Lewis Carroll ha pensato ad un immaginario dialogo tra Achille e la tartaruga, posto alla fine dell'interminabile corsa. I due discutono di geometria, ma la tartaruga rifiuta sempre di arrivare alla conclusione finale di Achille, semplicemente perché rifiuta la logica (in particolare il modus ponens).
  • In Gödel, Escher, Bach: un'eterna ghirlanda brillante di Douglas Hofstadter i vari capitoli sono intervallati da dialoghi tra Achille e la tartaruga, ispirati all'opera di Carroll.
  • Lo scrittore argentino Borges ha ripreso più volte i paradossi di Zenone, discutendo del loro rapporto con l'infinito. Borges li ha anche utilizzati come metafora per alcune situazioni descritte da Kafka.
  • Il poeta francese Paul Valéry cita Zenone d'Elea e fa riferimento ai paradossi di Achille e della freccia nel suo poema Le Cimetière Marin.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Umberto Bartocci, "I paradossi di Zenone sul movimento e il dualismo spazio-tempo", "Episteme, Physis e Sophia nel III millennio", Perugia, N. 8, 2004 I paradossi di Zenone sul movimento e il dualismo spazio-tempo, con un'appendice "Sulle definizioni matematiche di discreto e continuo".[1]
  2. ^ Ne sono lampante esempio i versi di Hubert Cremer: "Oh, Zenon, Zenon, alter Wicht, kennst du den Kowalewski nicht?" Gerhard Kowalewski, in "Carmina mathematica und andere poetische Jugendsünden", Mathematische Scherzgedichte, erste Auflage 1927.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Silvia Clara Roero, I paradossi di Zenone sul movimento, Torino, Rosenberg & Sellier, 1976. ISBN non esistente
  • Tullio Viola, Paleopitagorismo, paradossi di Zenone sul movimento e critica aristotelica, Napoli, 1980. ISBN non esistente
  • Marco De Paoli, I paradossi svelati. Zenone di Elea e la fondazione della scienza occidentale, Cavallerleone, Scolastica, 1998. ISBN 88-87008-30-2
  • Giuseppe Panaccione, Intorno ai paradossi di Zenone. Da Pitagora al XX secolo, Carlentini, A. Parisi, 2004. ISBN 88-88602-23-2
  • Imre Toth, I paradossi di Zenone nel Parmenide di Platone, Napoli, Bibliopolis, 2006. ISBN 978-88-708-8514-9
  • Jonathan Barnes et al., Zenone e l’infinito (Eleatica 2), a cura di Livio Rossetti e Massimo Pulpito, Sankt Augustin, Academia Vg., 2011. ISBN 978-3-89665-585-1
  • Vincenzo Fano, I paradossi di Zenone, Roma, Carocci, 2012. ISBN 978-88-430-6267-6

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]