Paradossi di Zenone
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Indice |
I paradossi di Zenone ci sono stati tramandati attraverso la citazione che ne fa Aristotele nella sua Fisica. Zenone di Elea, discepolo ed amico di Parmenide, per sostenere l'idea del maestro, che la realtà è costituita da un Essere unico e immutabile, propose alcuni paradossi che dimostrano, a rigor di logica, l'impossibilità della molteplicità e del moto, nonostante le apparenze della vita quotidiana.
Le argomentazioni di Zenone costituiscono forse i primi esempi del metodo di dimostrazione noto come reductio ad absurdum o dimostrazione per assurdo. Sono anche considerate un primo esempio del metodo dialettico, usato in seguito dai sofisti e da Socrate.
Oggi non si attribuisce valore fisico alle argomentazioni di Zenone, ma la loro influenza è stata molto importante nella storia del pensiero filosofico e matematico.
I paradossi di Zenone restano anche un utile esercizio di logica, per riflettere sulla modalità di costruzione dei ragionamenti umani. Si ricordano due paradossi contro il pluralismo e quattro contro il movimento.
[modifica] Paradossi contro il pluralismo
[modifica] Primo paradosso
Il primo paradosso, contro la pluralità delle cose, sostiene che se le cose sono molte esse sono allo stesso tempo un numero finito e un numero infinito: sono finite in quanto esse sono né più né meno di quante sono, e infinite poiché tra la prima e la seconda ce n'è una terza e così via.
[modifica] Secondo paradosso
Il secondo paradosso invece sostiene che se queste unità non hanno grandezza, le cose da esse composte non avranno grandezza, mentre se le unità hanno una certa grandezza, le cose composte da infinite unità avranno una grandezza infinita.
[modifica] Paradossi contro il movimento
[modifica] Primo paradosso (lo stadio)
Il primo argomento contro il movimento è quello sullo stadio.
Esso afferma che non si può giungere all'estremità di uno stadio senza prima aver raggiunto la metà di esso, ma prima di raggiungerla si dovrà raggiungere la metà della metà e così via senza quindi mai riuscire a raggiungere l'estremità dello stadio.
[modifica] Secondo paradosso (Achille e la tartaruga)
 |
Per approfondire, vedi la voce Paradosso di Achille e la tartaruga. |
Il Paradosso di Achille e la tartaruga - uno dei paradossi di Zenone più famosi - afferma invece che se Achille (detto "pie' veloce") venisse sfidato da una tartaruga nella corsa e concedesse alla tartaruga un piede di vantaggio, egli non riuscirebbe mai a raggiungerla, dato che Achille dovrebbe prima raggiungere la posizione occupata precedentemente dalla tartaruga che, nel frattempo, sarà avanzata raggiungendo una nuova posizione che la farà essere ancora in vantaggio; quando poi Achille raggiungerà quella posizione nuovamente la tartaruga sarà avanzata precedendolo ancora. Questo stesso discorso si può ripetere per tutte le posizioni successivamente occupate dalla tartaruga e così la distanza tra Achille e la lenta tartaruga pur riducendosi verso l'infinitamente piccolo non arriverà mai ad essere pari a zero.
In pratica, posto che la velocità di Achille (Va) sia N volte quella della tartaruga (Vt) le cose avvengono così:
- dopo un certo tempo t1 Achille arriva dove era la tartaruga alla partenza (L1).
- nel frattempo la tartaruga ha compiuto un pezzo di strada e si trova nel punto L2.
- occorre un ulteriore tempo t2 per giungere in L2.
- ma nel frattempo la tartaruga è giunta nel punto L3 ... e così via.
Quindi per raggiungere la tartaruga Achille impiega un tempo
e quindi non la raggiungerà mai.
[modifica] Terzo paradosso (la freccia)
Il terzo argomento è quello della freccia, che appare in movimento ma, in realtà, è immobile. In ogni istante difatti essa occuperà solo uno spazio che è pari a quello della sua lunghezza; e poiché il tempo in cui la freccia si muove è fatto di singoli istanti, essa sarà immobile in ognuno di essi.
Il concetto di questo terzo paradosso è in fondo opposto a quello del secondo: l'esistenza di punti e istanti indivisibili. Ma anche in questo caso il movimento risulta impossibile, in quanto dalla somma di istanti immobili non può risultare un movimento.
[modifica] Quarto paradosso (due masse nello stadio)
Zenone afferma che se due masse in uno stadio si vengono incontro, risulterà l'assurdo logico che la metà del tempo equivale al doppio.
Consideriamo infatti tre segmenti (A, B, C) uguali e paralleli, che si trovino allineati. Supponiamo poi che il segmento in alto (A) si muova verso destra, rispetto a quello situato nel centro (B) che resta fermo, e che per ogni istante elementare avanzi di un intervallo (elementare). Il segmento in basso (C) faccia invece la stessa cosa verso sinistra. Dopo il primo istante avremo che i punti iniziali di A e C si saranno allontanati di due intervalli. Ma ciò è assurdo perché allora il tempo che avrebbero impiegato per allontanarsi di un solo intervallo sarebbe di "mezzo istante", contraddicendo l'ipotesi che stiamo analizzando la situazione al primo istante (indivisibile).
[modifica] Confutazione dei paradossi del moto
In alcuni dei suoi paradossi, Zenone assume implicitamente che, data una serie infinita, debba essere infinita anche la sua somma.
Nel caso specifico di Achille e della tartaruga la serie dei tempi ti converge e
Non crediamo però che l'errore sia "sciocco": una prima dimostrazione di convergenza delle serie infinite non geometriche è stata data, nel solo caso particolare di
solo nel XIV secolo da Richard Suiseth.
Il caso generale venne dimostrato nel XVII secolo, mentre Zenone espose i suoi paradossi nel V secolo a.C. La tecnica mostrata da Zenone nella suddivisione infinitesimale va sotto il nome di dicotomia.
Il paradosso della freccia, come quello dello stadio, possono essere confutati sviluppando una teoria dei numeri reali che permetta di postulare che lo spazio e il tempo siano infinitamente divisibili, e definendo al contempo la possibilità di misurare un insieme di cardinalità illimitata, concetti che sono stati resi formalmente solo alla fine del XIX secolo.
Nel paradosso delle masse dello stadio, Zenone implicitamente suppone che le velocità possibili di un corpo siano illimitate superiormente, mentre sappiamo dalla teoria della relatività ristretta che non è così. Anche in quello della freccia, egli suppone che un corpo in moto sia indistinguibile da uno in quiete. Sono trascorsi 2500 anni prima di raggiungere le conoscenze necessarie a confutare il paradosso.
Sono state date anche delle confutazioni valide anche per la meccanica classica. In genere si è sempre osservato che gli argomenti di Zenone si basano sull'infinito. Per il paradosso della freccia, Bertrand Russell ha osservato che il cinematografo crea il movimento utilizzando una successione di immagini ferme.
Esiste un'altra visione dei paradossi di Zenone: un atto "semplice" viene scomposto e descritto attraverso una successione infinita di atti.
[modifica] Effetto Zenone quantistico
Come si può vedere, questi paradossi sono stati utili per sviluppare molti concetti alla base della matematica e della fisica moderne, e non si dovrebbe liquidarli banalmente. Persino nella meccanica quantistica riecheggia il nome di Zenone nel cosiddetto "effetto Zenone quantistico", che, riprendendo metaforicamente il paradosso della freccia, afferma che un sistema, che decadrebbe spontaneamente, è inibito o addirittura non decade affatto se sottoposto ad una serie infinita di osservazioni (o misure). Di recente vari esperimenti: - l'esperimento di Itano et al.(1990), basatosi sull'idea di Cook (1988), - quello di Kwiat et al. (1995) sulla polarizzazione dei fotoni, - e quello di Fischer et al. (2001), hanno dato verifica sperimentale di questo effetto.
[modifica] Il paradosso di Achille e la tartaruga in letteratura
Il Paradosso di Achille e la tartaruga ha ispirato diversi scrittori.
- Lewis Carroll ha pensato ad un immaginario dialogo tra Achille e la tartaruga, posto alla fine dell'interminabile corsa. I due discutono di geometria, ma la tartaruga rifiuta sempre di arrivare alla conclusione finale di Achille, semplicemente perché rifiuta la logica (in particolare il modus ponens).
- In Gödel, Escher, Bach: un'eterna ghirlanda brillante di Douglas Hofstadter i vari capitoli sono intervallati da dialoghi tra Achille e la tartaruga, ispirati all’opera di Carroll.
- Lo scrittore argentino Borges ha ripreso più volte i paradossi di Zenone, discutendo del loro rapporto con l'infinito. Borges li ha anche utilizzati come metafora per alcune situazioni descritte da Kafka.
- Il poeta francese Paul Valéry cita Zenone d'Elea e fa riferimento ai paradossi di Achille e della freccia nel suo poema Le Cimetière Marin.
