Papiro di Rhind

Il papiro di Rhind

Il papiro di Rhind è il più esteso papiro egizio di argomento matematico giunto fino a noi.

Deve il suo nome all'antiquario scozzese Henry Rhind che lo acquistò nel 1858 a Luxor in Egitto. È anche noto come Papiro di Ahmes dal nome dello scriba che lo trascrisse verso il 1650 a.C. durante il regno di Aphophis (quinto sovrano della XV dinastia) traendolo da un papiro precedente composto fra il 2000 a.C. e il 1800 a.C. Si trova attualmente al British Museum che lo acquistò nel 1865; alcuni piccoli frammenti sono conservati al Brooklyn Museum di New York.

È scritto in ieratico ed è alto 33 cm e lungo 3 m.

Contiene tabelle di frazioni e 84 problemi aritmetici, algebrici e geometrici con le relative soluzioni.

Tabelle di frazioni [modifica]

Le frazioni che hanno la forma ${2\over n}$ (con n numero dispari compreso fra 5 e 101) e ${n\over 10}$ (con n numero naturale compreso fra 1 e 9) sono scomposte in somma di frazioni della forma ${1\over n}$ oppure ${2\over 3}$ .

Ad esempio:

${2\over 5} = {1\over 3} + {1\over 15}$ .

${9\over 10} = {1\over 30} + {1\over 5} + {2\over 3}.$

Problemi aritmetici [modifica]

Gli Egizi usavano una successione di raddoppiamenti per eseguire sia la moltiplicazione che la divisione

Per moltiplicare addizionavano il moltiplicando a sé stesso, duplicavano ancora il risultato ottenuto e così via, finché (usando il linguaggio moderno) la potenza di due impiegata rimaneva minore del moltiplicatore. Ad esempio supponiamo di voler moltiplicare 25 per 11. Prima calcoliamo:

1 x 25		25
2 x 25		50
4 x 25	2 x 50	100
8 x 25	2 x 100	200

(Non si esegue la moltiplicazione 16x 25 perché 16>11). Si decompone poi il moltiplicatore in una somma di potenza di due (in questo caso 11 = 8 + 2 + 1 ) e si sommano i prodotti corrispondenti alle potenze di due presenti nella decomposizione. In questo caso basterà sommare 200 + 50 + 25 per ottenere
25 x 11 = 275

Per dividere si utilizzava lo stesso procedimento sul divisore. Ad esempio volendo dividere 60 per 12 si calcolava:

1 x 12		12
2 x 12		24
4 x 12	2 x 24	48

Poiché 48 + 12 = 60,

60 : 12 = 4 + 1 = 5

Con questo sistema e utilizzando le tabelle di cui si è detto prima, Ahmes è in grado di moltiplicare e dividere frazioni. Alcuni problemi infatti richiedono di ripartire pagnotte o birra fra un certo numero di persone e in proporzioni definite.

Problemi algebrici [modifica]

I problemi presentati sono risolubili con equazioni lineari nella forma:

$x + ax = b$ , e

$x + ax +bx = c$

con x incognita e a, b, c noti.

Il termine per indicare l'incognita è aha

che vuol dire mucchio.

Nel problema 24, ad esempio, viene calcolato il mucchio quando esso ed il suo settimo sono uguali a 19. Ciò, per noi, corrisponde all'equazione:

$x + {1\over 7}x = 19$

Per risolvere questi problemi Ahmes usa il "metodo della falsa posizione"; attribuisce, cioè, al mucchio un valore senza preoccuparsi della sua correttezza. Nel caso precedente pone x = 7. Calcola quindi:

$7 + {1\over 7}\cdot7$ ottenendo come risultato 8.

Confronta poi 8 con il risultato atteso 19, verificando che:

$8\cdot(2 + {1\over 4} + {1\over 8}) = 19$

Conclude quindi che per calcolare il mucchio occorre moltiplicare $7$ per $2 + {1\over 4} + {1\over 8}$

Nel caso del problema 30 il metodo usato è, invece, quello moderno.

Problemi geometrici [modifica]

I problemi geometrici riguardano il calcolo di alcune aree.

L'area del triangolo isoscele viene calcolata dividendolo in due triangoli rettangoli e ruotandone uno in modo da ottenere un rettangolo. Si trova il risultato, quindi, moltiplicando la metà della base per l'altezza.