Moto armonico

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In fisica, il moto armonico è il particolare moto vario unidimensionale descritto da un oscillatore armonico, cioè un sistema meccanico che reagisce ad una perturbazione dall'equilibrio con una accelerazione di richiamo $a$ proporzionale allo spostamento subito $x$ (la costante di proporzionalità è sempre negativa e si può quindi intendere come qualsiasi numero reale negativo come l'opposto di un quadrato di un altro numero costante ω_N, detto pulsazione, così indicato in quanto dimensionalmente simile alla velocità angolare). Quindi la sua equazione del moto sarà:

$\ddot x = - \omega_N^2 x$

A livello dinamico una possibile causa è la forza di Hooke, in quanto in:

$F_H = -k x \,$

$k$ è una costante positiva che risulta, tenendo conto del principio di proporzionalità di Newton: $k=m \omega_N^2$

Se $F_H$ è la sola forza agente, il sistema è detto oscillatore armonico semplice (o naturale) con equazione del moto pari a quella succitata: il moto armonico semplice presenta oscillazioni sinusoidali attorno al punto di equilibrio, con ampiezza e frequenza (detta naturale) costante. Tenendo conto del principio di proporzionalità, tuttavia, si ridurrà in questa sede lo studio del problema al solo ambito cinematico. Esempi meccanici di oscillatori armonici semplici sono il pendolo semplice (per piccoli angoli di oscillazione) ed una massa attaccata ad una molla. Analoghi sistemi fuori dalla meccanica includono i sistemi acustici vibranti, e gli oscillatori armonici elettrici tra cui i circuiti RLC.

Va ricordato infine che esistono altri tipi di oscillatori anarmonici o non lineari, tra cui riveste particolare importanza l'oscillatore di Van der Pol.

[modifica] Moto armonico libero semplice

Molla in moto: oscillatore armonico semplice

Detto anche moto armonico naturale, in quanto segue la pulsazione naturale ( $\omega=\omega_N$ ). Tale moto di equazione del secondo ordine armonica semplice è periodico, in quanto si ripete ad intervalli regolari in maniera identica e può essere descritto inizialmente attraverso una funzione sinusoidale di ampiezza costante:

$x_1(t) = A_1 \cos\left(\omega_N t + \theta_0\right)$ - legge oraria per moto unidimensionale lungo l'asse x,

dove $T=\frac{2 \pi}{\omega_N}$ è il periodo dell'oscillazione (ovvero l'intervallo di tempo tra due oscillazioni), mentre $A$ e $\theta_0$ sono rispettivamente l'ampiezza dell'oscillazione e la costante di fase (che dipendono dalla posizione $x \left( 0 \right)$ e velocità iniziale $\dot{x}(0)$ del moto). La velocità e l'accelerazione saranno rispettivamente derivata prima e seconda della legge oraria, ovvero:

$v_1(t) = -\omega_N A_1 sin \left( \omega_N t + \theta_0 \right)$ (Derivata prima della legge oraria)

$a_1(t) = -\omega_N^2 A_1 cos \left( \omega_N t + \theta_0 \right)$ (Derivata seconda della legge oraria)

che in un caso più generale va combinata con la seguente per dare l'integrale generale:

$x_2(t) = A_2\ sin \left( \omega_N t + \theta_0 \right)$ Legge oraria per moto unidimensionale lungo l'asse x

$v_2(t) = \omega_N A_2 cos \left( \omega_N t + \theta_0 \right)$ Derivata prima della legge oraria

$a_2(t) = -\omega_N^2 A_2 sin \left( \omega_N t + \theta_0 \right)$ Derivata seconda della legge oraria

$x(t) = x_1(t)+x_2(t); \quad \quad v(t) = v_1(t)+v_2(t); \quad \quad a(t) = a_1(t)+a_2(t)$

A livello dinamico lagrangiano, l'energia cinetica K del sistema all'istante t è

$K(t) = \frac{1}{2} mv(t)^2 = \frac{1}{2}m\omega_N^2(A_1^2\sin^2(\omega_N t + \theta_0)+$

$-A_1A_2sin(\omega_N t + \theta_0)cos(\omega_N t + \theta_0)+A_2^2\cos^2(\omega_N t + \theta_0)) =$

$=\frac{1}{2}k (A_1^2\sin^2(\omega_N t + \theta_0)-A_1A_2sin(\omega_N t + \theta_0)cos(\omega_N t + \theta_0)+A_2^2\cos^2(\omega_N t + \theta_0$

e l'energia potenziale è

$U(t) = \frac{1}{2} k x(t)^2 = \frac{1}{2} k (A_1^2\cos^2(\omega_N t + \theta_0)+ A_1A_2sin(\omega_N t + \theta_0)cos(\omega_N t + \theta_0)+A_2^2\sin^2(\omega_N t + \theta_0)).$

Moto circolare e moto armonico

L'energia meccanica totale del sistema è perciò un integrale primo di moto, cioè una sua costante:

$E = K + U =\frac{1}{2} k (A_1^2+A_2^2).$

Il moto armonico semplice (per cui lo ricordiamo vale $\omega=\omega_N$ ) può essere generalizzato componendolo in modo multidimensionale: in particolare risulta su una qualunque coppia di assi cartesiani compone il moto circolare uniforme nel piano:

$\left\{ \begin{matrix} x = - {\ddot x \over \omega^2} \\ y = - {\ddot y \over \omega^2} \end{matrix} \right. \rightarrow \left\{ \begin{matrix} x^2 = - {\ddot x^2 \over \omega^4} \\ y^2 = - {\ddot y^2 \over \omega^4} \end{matrix} \right. \rightarrow x^2+y^2= - {(\ddot x^2 + \ddot y^2)\over \omega^4} \rightarrow r^2={a\over \omega^2}^2$

Quest'ultima relazione vale appunto per un moto circolare uniforme (e non per un qualsiasi moto circolare). Un'analoga dimostrazione che qui non presentiamo può essere fatta per generalizzare questo moto a tre dimensioni componendolo con tre moti armonici semplici sugli assi cartesiani dello spazio tridimensionale, e rendendo diversa tra loro l'ampiezza, col risultato di un moto ellittico.

[modifica] Moto armonico libero smorzato

Molla sottosmorzata

Detto anche moto armonico ammortizzato: nello studio di fenomeni fisici reali i corpi in movimento sono di solito soggetti a attriti, di solito direttamente proporzionali alla velocità $F_S = c \frac{dx}{dt}$ .

Ponendo $\omega_S = {c\over m}$ , abbiamo:

$\ddot x + \omega_S \dot x + \omega_N ^2 x = 0$

Per ottenere la soluzione di una equazione differenziale lineare è necessario prima di tutto risolvere l'equazione di secondo grado agli autovalori λ associata:

$\lambda^2 + \omega_S \lambda + \omega_N ^2 = 0 \$

che fornisce le due radici (autovalori):

$\lambda_1= - {\omega_S\over 2}-{1\over 2}\sqrt{\omega_S^2-4\omega_N^2}$

$\lambda_2= - {\omega_S\over 2}+{1\over 2}\sqrt{\omega_S^2-4\omega_N^2}$

Si noti che entrambe le soluzioni hanno parte reale negativa.

Distinguiamo tre casi:

[modifica] Sottosmorzamento

È il caso più comune, che si verifica quando $\omega_S<2\omega_N$ ; il sistema riesce a compiere (infinite nel caso ideale) oscillazioni attorno alla posizione d'equilibrio $x=0$ . In effetti in questo caso le radici $\lambda_1$ e $\lambda_2$ sono complesse (essendo l'argomento della radice negativo); ciò comporta che la soluzione dell'equazione differenziale contenga un termine con esponenziale complesso, il quale rappresenta per l'appunto un termine "oscillante".

Ponendo l'effettiva pulsazione $\omega=(\sqrt{4\omega_N^2-\omega_S^2})/2$ si ha come soluzione la legge oraria:

$x(t)=e^{-{\omega_S\over 2} t}(A_1\cos\omega t+A_2\sin\omega t)$

Quindi trattasi palesemente di un'oscillazione di frequenza $\omega\over 2\pi$ , la cui ampiezza diminuisce esponenzialmente nel tempo, come si può notare dal grafico.

Si noti ancora che la pulsazione di oscillazione nel caso di piccolo smorzamento è sempre inferiore alla pulsazione naturale, cioè alla quale oscillerebbe il sistema non influenzato dall'attrito viscoso: non si ha risonanza. Questo ha d'altra parte un ovvio significato fisico: la presenza di viscosità rallenta continuamente il movimento dell'oscillatore.

[modifica] Smorzamento critico

Si verifica quando $\omega_S=2\omega_N$ ; in tal caso poiché $\lambda_1=\lambda_2$ (che diremo semplicemente $\lambda$ ) la soluzione dell'equazione differenziale del moto fornisce la legge oraria:

$x(t)=(A_1+A_2t)e^{-{\omega_S\over 2}t}$

ed ancora una volta le costanti $A_1$ e $A_2$ vanno determinate dalle condizioni iniziali, in analogia col caso di sovrasmorzamento; la legge oraria diventa quindi, imponendo le condizioni al contorno:

$x(t)=\left(x_0+v_0 t+{\omega_S x_0 t\over 2}\right)e^{-{\omega_S\over 2}t}$

Come si vede dalla figura il sistema, sebbene sia in grado di dare inizio alla prima oscillazione, la vede smorzarsi completandola solo all'infinito.

$\lim_{t \to \infty}x=0$

È un caso notevole poiché restituisce la massima velocità di smorzamento, e viene come tale utilizzata negli strumenti di misura analogici come i galvanometri.

[modifica] Sovrasmorzamento

Si verifica quando $\omega_S>2\omega_N$ ; in tal caso la soluzione dell'equazione differenziale del moto fornisce la legge oraria:

$x(t)=A_1 e^{-|\lambda_1|t}+A_2 e^{-|\lambda_2|t}$

Le costanti $A_1$ e $A_2$ si determinano imponendo che la soluzione soddisfi le condizioni iniziali

$x(0) = x_0 \$

e

$\dot x(0) = v_0$

ovvero che all'istante iniziale il punto si trovi nella posizione di elongazione e con velocità pari a quelle iniziali note. Si ottiene:

$A_1={v_0+x_0|\lambda_1|\over |\lambda_1|-|\lambda_2|}$

$A_2={-x_0|\lambda_2|-v_0\over |\lambda_1|-|\lambda_2|}$

Dal punto di vista fisico questa soluzione indica che lo smorzamento viscoso è tanto alto da impedire qualunque oscillazione del punto attorno alla posizione di equilibrio $x=0$ .

[modifica] Moto armonico forzato semplice

Detto anche moto armonico risonante. Si vuole ora dimostrare come una accelerazione con variazione temporale sinusoidale $~a_F = a_{F0} \cos(\omega_F t)$ provochi un'oscillazione forzata. L'equazione del moto è quindi:

$\ddot x=a_F + a_H= a_{F0}\cos(\omega_F t) -\omega_N^2 x \quad \rightarrow \quad \ddot x + \omega_N^2 x = a_{F0} \cos(\omega_F t)$

L'ampiezza delle oscillazioni è determinata da: $A = \frac{a_{F0}}{\omega_N^2 - \omega_F^2}\,\!$

La forzante influisce attraverso due parametri:

Il cosiddetto spostamento statico, la variazione di ampiezza iniziale che sarebbe il solo se l'accelerazione fosse costantemente a_F0:

$A_N = \frac{a_{F0}}{\omega_N^2}\,\!$ ,

L'amplificazione dinamica , che rappresenta appunto l'incremento relativo subito dallo spostamento statico per effetto della variazione della forza nel tempo.

All'inizio il corpo mantiene la sua frequenza naturale di oscillazione $\omega_N$ , ma viene progressivamente costretto a seguire la frequenza $\omega_F\,\!$ imposta dalla forza esterna, e acquisisce quindi al ciclo limite ampiezza e legge oraria: $A_F = \frac{a_{F0}}{\omega_F^2}\,\!$ , $x = A \cos (\omega_F t)\,\!$

sostituendo nell'equazione del moto:

$-A\omega_F^2 \cos(\omega_F t) + \omega_N^2 A\cos (\omega_F t) = a_{F0} \cos(\omega_F t)\,\!$

$-A\omega_F^2 + A\omega_N^2 = a_{F0}$

$A \left(\omega_N^2 - \omega_F^2 \right) = a_{F0}\,\!$ q.e.d. Da questa relazione è evidente che esistono tre comportamenti anche per il moto forzato, stavolta in base al rapporto fra le frequenze.

[modifica] Sottoforzamento

$\omega_F \ll \omega_N \quad \Rightarrow \quad A \to A_F\,\!$ (risonanza armonica sfasata: distruttiva decrescente col rapporto)

[modifica] Forzamento critico

$\omega_F = \omega_N \quad \Rightarrow \quad A \to \infty\,\!$ (risonanza armonica smorzante)

[modifica] Sovraforzamento

$\omega_F \gg \omega_N \quad \Rightarrow \quad A \to 0\,\!$ (risonanza armonica in fase: costruttiva crescente col rapporto)

[modifica] Moto armonico forzato smorzato

Detto anche moto armonico generico poiché ne costituisce il caso più generale. Si tratta del caso visto nella sezione precedente con in aggiunta un termine oscillante che dipende sinusoidalmente dal tempo, e fornendo energia al sistema, si oppone al suo ritorno alla posizione di equilibrio X=0:

$\ddot x+\omega_S\dot x+\omega_N^2 x={a_{0F}}\cos(\omega_F t)$

Ancora una volta facciamo riferimento alla teoria delle equazioni differenziali del second'ordine per la risoluzione: la seguente è la legge oraria dell'elongazione x:

$x(t)=Ae^{-{\omega_S\over 2}t}\cos(\omega_S t+\phi)+B\cos(\omega_F t-\delta)$

dove:

$\delta=\arctan\left({\omega_S\omega_F\over\omega_N^2-\omega_F^2}\right)$

$B={a_0\over\sqrt{(\omega_N^2-\omega_F^2)^2+\gamma^2\omega_F^2}}$

Si osservi che il moto totale è la somma dei due moti trattati precedentemente: uno oscillante smorzato con una certa pulsazione $\omega_S$ ed uno forzato di ampiezza $B$ e pulsazione $\omega_F$ .
Il sistema ha dunque un transiente oscillante iniziale che svanisce esponenzialmente col tempo, lasciando il posto ad un'oscillazione pura ad ampiezza costante; questa oscillazione è determinata essenzialmente dalla forza esterna, e presenta uno sfasamento con essa. Se la resistenza viscosa $\omega_S$ diventa sempre più piccola, l'ampiezza massima $B_{max}$ aumenta sempre di più (tendendo all'infinito per $\omega_S$ che tende a zero). Si parla allora di sfasamento.

La curva di sfasamento a destra (la curva della funzione $\delta\left(\omega_f\right)$ ) mostra che elongazione e accelerazione non sono mai in fase tranne nel caso degenere in cui $\omega_F=0$ cioè di moto armonico smorzato). Per $\omega_F=\omega_N$ (in risonanza), l'elongazione si dice in quadratura di fase con la forza esterna.

[modifica] Sistemi equivalenti

Gli oscillatori armonici si manifestano in una vastità di aree fisiche: qui presentiamo una tavola che mostra le analogia tra quantità proprie di quattro oscillatori armonici meccanici ed elettronici. Perciò se presentano grandezze corrispondenti uguali allora uguali saranno anche i loro comportamenti, cioè frequenza risonante, fattore di smorzamento, ecc.

Meccanico traslazionale	Meccanico rotazionale	Circuito RLC in serie	Circuito RLC in parallelo
Posizione $x\,$	Angolo $\theta\,\!$	Carica $q\,$	Tensione elettrica $e\,$
Velocità $\frac{dx}{dt}\,$	Velocità angolare $\frac{d\theta}{dt}\,$	Intensità di corrente $\frac{dq}{dt}\,$	Variazione della tensione elettrica $\frac{de}{dt}\,$
Massa $M\,$	Momento d'inerzia $I\,$	Induttanza $L\,$	Capacitanza $C\,$
Modulo di Young $K\,$	Costante torsionale $\mu\,$	Elastanza $1/C\,$	Suscettanza $1/L\,$
coefficiente d'Attrito $C_F\,$	coefficiente d'Attrito torsionale $C_T\,$	Resistenza $R\,$	Conduttanza $1/R\,$
Forza guida $F(t)\,$	Torsione guida $\tau(t)\,$	Tensione elettrica $e\,$	Variazione di corrente $di/dt\,$
Undamped Frequenza di risonanza $f_n\,$ :
$\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K}{M}}\,$	$\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\mu}{I}}\,$	$\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{LC}}\,$	$\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{LC}}\,$
Equazione differenziale:
$M\ddot x + C_F\dot x + Kx = F\,$	$I\ddot \theta + C_T\dot \theta + \mu \theta = \tau\,$	$L\ddot q + R\dot q + q/C = e\,$	$C\ddot e + \dot e/R + e/L = \dot i\,$