Ordinamento sul cammino

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In fisica teorica, l'ordinamento sui cammini (in inglese, path ordering) è la procedura, o meta-operatore {\mathcal P} di ordinare un prodotti di molti operatori secondo il valore di un dato parametro:

{\mathcal P} \left[O_1(\sigma_1)O_2(\sigma_2)\dots O_N(\sigma_N)\right]:= O_{p_1}(\sigma_{p_1}) O_{p_2}(\sigma_{p_2})\dots O_{p_N}(\sigma_{p_N}).

Dove p:\{1,2,\dots ,N\} \to \{1,2,\dots, N\} è una permutazione che ordina i parametri:

\sigma_{p_1}\leq \sigma_{p_2}\leq \dots \leq \sigma_{p_N}.

Per esempio:

{\mathcal P} \left[ O_1(4) O_2(2) O_3(3) O_4(1) \right]:=O_4(1) O_2(2) O_3(3) O_1(4) .

Ordinamento temporale[modifica | modifica wikitesto]

In teoria quantistica dei campi è utile prendere il prodotto T-ordinato degli operatori. Questa operazione è denotata dall'operatore{\mathcal T}. Per due operatori A(x) e B(y) che dipendono dai punti dello spaziotempo x, y si definisce:

{\mathcal T} \left[A(x) B(y)\right] := \left\{ \begin{matrix} A(x) B(y) & \textrm{ se } & x_0 > y_0 \\ B(y)A(x) & \textrm{ se } & x_0 < y_0. \end{matrix} \right.

Dove x_0 e y_0 indicano le coordinate temporali dei punti x and y.

Esplicitamente abbiamo:

{\mathcal T} \left[A(x) B(y)\right] := \theta (x_0 - y_0) A(x) B(y) \pm \theta (y_0 - x_0) B(y) A(x),

dove \theta denota la funzione di Heaviside e il \pm dipende dalla natura bosonica o fermionica dell'operatore. Se bosonica, allora si sceglie sempre il segno +, se fermionica allora il segno dipende dal numero di scambi necessari per ottenere l'ordinamento temporale. Si noti che non entrano fattori combinatori in questa definizioni.

Dato che l'operatore dipende da punti dello spazio quadrimensionale (non solo il tempo) questo operazione di ordinamento temporale è indipendente dalle coordinate solo se operatori valutati in punti separati da una distanza di tipo spazio commutano.

La matrice S in teoria quantistica dei campi è un esempio di prodotto T-ordinato infatti trasforma uno stato a t=-\infty in uno a t=+\infty.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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