Operatore di d'Alembert

L'operatore di d'Alembert $\Box$, anche chiamato operatore dalembertiano oppure operatore delle onde, è l'estensione dell'operatore di Laplace nello spazio di Minkowski e di altre soluzioni delle equazioni di Einstein. È impiegato nella teoria delle onde, nell'elettromagnetismo e nella relatività speciale e generale.

In meccanica classica l'operatore dalembertiano si scrive:

$\Box=\partial^2_x+\partial^2_y+\partial^2_z-\frac{1}{v^2}\partial^2_t = \nabla^2 - \frac{1}{v^2} \partial^2_t$

dove v è la velocità dell'onda e $\nabla^2=\Delta$ è l'operatore di Laplace. Nella relatività ristretta il d'Alambertiano prende la forma:

$\Box = \partial^\mu \partial_\mu = \eta^{\nu\mu} \partial_\nu \partial_\mu =-\partial_0^2 +\partial_1^2+\partial_2^2+\partial_3^2=\Delta-\frac{1}{c^2}\partial_t^2$

dove $\Delta$ è il laplaciano ed $\eta^{ij}$ è il tensore metrico dello spazio-tempo di Minkowski con la segnatura (-1,1,1,1). È immediato verificare che il d'Alambertiano è un operatore invariante sotto trasformazioni di Lorentz e perciò non varia le proprietà di trasformazione dei tensori a cui è applicato.

Altre notazioni

Oltre al simbolo $\Box$ (quadrato) è spesso usato per l'operatore d'Alambertiano anche il simbolo $\Delta_\mathbf{M}$, in analogia con il laplaciano (M sta ad indicare lo spazio di Minkowski), oppure il simbolo $\Box^2$. A volte $\Box$ è usato per rappresentare la derivata covariante quadri-dimensionale di Levi-Civita. Il simbolo $\nabla$ (nabla) è usato invece per rappresentare le derivate spaziali, ma dipendente dalle coordinate.

Un altro modo per scrivere l'operatore d'Alambertiano è $\partial^2$. La notazione è comoda in teoria quantistica dei campi dove le derivate parziali sono di solito indicizzate.

Voci correlate

• Operatore differenziale
• Operatore Nabla
• Operatore di Laplace
• Operatore di Legendre
• Onda elettromagnetica
• Teoria della relatività ristretta

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