Numero taxicab

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In matematica, l'n-esimo numero taxicab - indicato con Ta(n) - è il più piccolo numero rappresentabile in n modi come somma di cubi positivi. Il nome di questi numeri prende origine da uno dei più famosi aneddoti della storia della matematica moderna, secondo il quale il matematico inglese Godfrey Harold Hardy, recatosi in ospedale in visita al matematico indiano Srinivasa Ramanujan, tanto per dire qualcosa osservò che il numero del taxi che aveva preso (1729) sembrava piuttosto insulso. Al che Ramanujan rispose immediatamente: "No Hardy, è un numero estremamente interessante: è il minimo intero che si può esprimere come somma di due cubi in due modi diversi!" Infatti il valore di Ta(2) è 1729, chiamato anche Numero di Hardy-Ramanujan.

Godfrey Harold Hardy e E. M. Wright hanno dimostrato che questo numero esiste per ogni valore di n, ma la dimostrazione non aiuta a trovarne i valori. Gli unici numeri Taxicab attualmente (2008) conosciuti sono quelli per 1 < n < 6 (sequenza A011541 dell'OEIS):

\begin{align} Ta(2) &= 1729 \\ &= 1^3 + 12^3 \\ &= 9^3 + 10^3 \end{align}

\begin{align} Ta(3) &= 87539319 \\ &= 167^3 + 436^3 \\ &= 228^3 + 423^3 \\ &= 255^3 + 414^3 \end{align}

\begin{align} Ta(4) &= 6963472309248 \\ &= 2421^3 + 19083^3 \\ &= 5436^3 + 18948^3 \\ &= 10200^3 + 18072^3 \\ &= 13322^3 + 16630^3 \end{align}

\begin{align} Ta(5) &= 48988659276962496 \\ &= 38787^3 + 365757^3 \\ &= 107839^3 + 362753^3 \\ &= 205292^3 + 342952^3 \\ &= 221424^3 + 336588^3 \\ &= 231518^3 + 331954^3 \end{align}

I primi numeri taxicab sono quindi 2, 1729, 87539319, 6963472309248, 48988659276962496, ...

per Ta(6) è probabile, ma non certo, che si abbia

\begin{align} Ta(6) &= 24153319581254312065344 \\ &= 28906206^3 + 582162^3 \\ &= 28894803^3 + 3064173^3 \\ &= 28657487^3 + 8519281^3 \\ &= 27093208^3 + 16218068^3 \\ &= 26590452^3 + 17492496^3 \\ &= 26224366^3 + 18289922^3 \end{align}

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