Numero rifattorizzabile

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In teoria dei numeri, un numero rifattorizzabile o numero tau è un intero divisibile per il numero dei suoi divisori, ovvero un numero n tale che \tau(n)|n. I primi numeri fattorizzabili sono: 1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88 e 96.[1] Ad esempio, il numero 60 ha 12 divisori ed è divisibile per 12.

Proprietà matematiche[modifica | modifica wikitesto]

Esistono infiniti numeri rifattorizzabili, sia pari che dispari. Se un numero n dispari è rifattorizzabile, lo è anche 2n. I numeri rifattorizzabili hanno una densità asintotica pari a zero. Tre numeri interi consecutivi non possono essere tutti rifattorizzabili[2]. Nessun numero rifattorizzabile può essere anche un numero perfetto. L'equazione MCD(n, x) = τ(n) è determinata solo se n è rifattorizzabile.

Ci sono alcuni problemi irrisolti riguardanti i numeri rifattorizzabili. La congettura di Colton afferma che, per ogni numero intero n, il numero di numeri rifattorizzabili minori o uguali a n è almeno la metà della quantità di numeri primi minori o uguali a n. Zelinsky ha inoltre congetturato che se esiste un numero rifattorizzabile n_0 \equiv a \mod m, allora deve necessariamente esistere un n > n_0 tale n è rifattorizzabile e n \equiv a \mod m.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

I numeri rifattorizzabili furono definiti per la prima volta dai matematici Curtis Cooper e Robert E. Kennedy[3], che dimostrarono che tale insieme ha densità asintotica nulla. Successivamente furono riscoperti dall'informatico Simon Colton usando un software di sua invenzione, che inventa ed esamina definizioni relative a varie aree della matematica, come la teoria dei numeri e la teoria dei grafi[4]. È stata una delle prime volte nelle quali una nuova idea matematica veniva scoperta autonomamente da un computer. Fu Colton a chiamare tali numeri "rifattorizzabili". Colton ha dimostrato che esistono infiniti numeri rifattorizzabili, oltre a diversi teoremi relativi alla loro distribuzione.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Sequenza A033950 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  2. ^ J. Zelinsky, "Tau Numbers: A Partial Proof of a Conjecture and Other Results," Journal of Integer Sequences, Vol. 5 (2002), Articolo 02.2.8
  3. ^ Cooper, C.N. and Kennedy, R. E. "Tau Numbers, Natural Density, and Hardy and Wright's Theorem 437." Internat. J. Math. Math. Sci. 13, 383-386, 1990
  4. ^ S. Colton, "Refactorable Numbers - A Machine Invention," Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), Article 99.1.2
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