Numero perfetto totiente

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In teoria dei numeri, si dice numero perfetto totiente un numero naturale n uguale alla somma dei suoi totienti iterati, da n fino ad 1. Ad esempio, considerando il numero 243, abbiamo: φ(243) = 162; φ(162) = 54; φ(54) = 18; φ(18) = 6; φ(6) = 2, φ(2) = 1. Dato che 162+54+18+6+2+1=243, 243 è un numero perfetto totente.
I primi numeri perfetti totienti sono: 3, 9, 15, 27, 39, 81, 111, 183, 243, 255, 327, 363, 471, 729, 2187, 2199, 3063, 4359, 4375, 5571[1].

Definizione formale[modifica | modifica sorgente]

Dato un numero n \subset \mathbb{N}, n è perfetto totiente se e solo se

n = \sum_{i = 1}^{c + 1} \varphi^i(n),

dove

\varphi^i(n)=\left\{\begin{matrix}\varphi(n)&\mbox{ se i=1}\\ \varphi(\varphi^{i-1}(n))&\mbox{ se i ≠ 1} \end{matrix}\right. (funzione totiente iterata)

e

\displaystyle\varphi^c(n)=2.

Proprietà matematiche[modifica | modifica sorgente]

Molti numeri perfetti totienti sono multipli di 3. Il più piccolo perfetto totiente a non essere divisibile per 3 è 4375. Tutte le potenze di 3 sono numeri perfetti totienti, come si può verificare per induzione osservando che

\displaystyle\varphi(3^k) = \varphi(2\cdot 3^k) = 2\cdot 3^{k-1}.

Un'altra famiglia di numeri perfetti totienti è quella data dalla seguente regola: se p=4·3m+1 è un numero primo, allora 3p è un numero perfetto totiente.[2] I primi valori di m per i quali 4·3m+1 è primo sono: 0, 1, 2, 3, 6, 14, 15, 39, 201, 249, 1005, 1254, 1635, 3306[3].

Più generalmente, se p è un numero primo maggiore di 3 e 3p è un numero perfetto totiente, allora p è esprimibile nella forma 4n+1, ovvero p ≡ 1 (modulo 4)[4]; in più, n è anch'esso un numero perfetto totiente. Quindi, con n perfetto totiente e 4n+1 primo, anche 3·(4n+1)=12n+3 è perfetto totiente. Questo concatena i numeri di questo tipo in qualcosa di simile a una catena di Cunningham generalizzata[5].
Se 9p (=3²p) è un numero perfetto totiente, allora p è sempre un numero primo[6]. Non si sa se ci siano numeri perfetti totienti nella forma 3mp, dove p è un numero primo maggiore di 3 e m > 3[6].

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) Sequenza A082897 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  2. ^ Venkataraman, T., Perfect totient number in The Mathematics Student, vol. 43, 1975, p. 178.
  3. ^ (EN) Sequenza A005537 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  4. ^ Mohan A. L., Suryanarayana D., Perfect totient numbers, Number theory, Mysore, Lecture Notes in Mathematics, vol. 938, Springer-Verlag, 1982, pp. 101–105.
  5. ^ (EN) John Smith, Example of perfect totient number su PlanetMath.
  6. ^ a b Iannucci, Douglas E., Deng, Moujie, Cohen, Graeme L., On perfect totient numbers in Journal of Integer Sequences, vol. 6, n. 4, 2003.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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