Numero moltiplicativamente perfetto
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In matematica, il concetto di numero moltiplicativamente perfetto (chiamato anche numero multiperfetto) è la generalizzazione di quello di numero perfetto.
Dato un numero naturale k, un numero n è chiamato k-perfetto se e solo se la somma di tutti i divisori di n (la funzione divisore, σ(n)) è uguale a kn; un numero è dunque perfetto se e solo se è 2-perfetto. Un numero che è k-perfetto per un certo k è chiamato numero moltiplicativamente perfetto. A luglio 2004, sono noti numeri k-perfetti per ogni valore di k fino a 11.
Può essere dimostrato che:
- Per un dato numero primo p, se n è p-perfetto e p non divide n, allora pn è (p+1)-perfetto. Questo implica che se un intero n è un numero 3-perfetto divisibile per 2 ma non per 4, allora n/2 è un numero perfetto dispari, di cui non è noto alcun esempio.
- Se 3n è 4k-perfetto e 3 non divide n, allora n è 3k-perfetto.
[modifica] I più piccoli numeri k-perfetti noti
La seguente tabella mostra i più piccoli numeri k-perfetti per k <= 7 (cf. A007539):
| k | Numero k-perfetto più piccolo | Scoperto da |
|---|---|---|
| 1 | 1 | sconosciuto |
| 2 | 6 | sconosciuto |
| 3 | 120 | sconosciuto |
| 4 | 30.240 | René Descartes, 1638 circa |
| 5 | 14.182.439.040 | René Descartes, 1638 circa |
| 6 | 154.345.556.085.770.649.600 | R.D. Carmichael, 1907 |
| 7 | 141.310.897.947.438.348.259.849.402.738.485.523.264.343.544.818.565.120.000 | T.E. Mason, 1911 |
