Numero iperreale

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Un numero iperreale è un elemento cardine nell'analisi non standard, introdotta dalle ricerche di Abraham Robinson dell'università Yale nel 1966 sul suo libro Non-Standard Analysis.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un numero iperreale è un numero appartenente all'insieme \mathbb{R}^{*}, una struttura matematica che può essere costruita a partire da \mathbb{R}, ma che risulta più ampia. Esso viene definito a partire dal numero infinitesimo.

Secondo Robinson un infinitesimo è un numero ε minore in valore assoluto di qualsiasi \frac{1}{n} per ogni n\in\mathbb{N}. A differenza di Leibniz, egli attribuisce a tali ε la dignità di numeri:

la categoria dei numeri iperreali è l'insieme dei reali, degli infinitesimi, dei reciproci degli infinitesimi (numeri infiniti) e di altri numeri infinitamente vicini ai reali

Un numero iperreale non infinito è, pertanto, della forma:

a+ε

dove a è un numero reale ed ε un infinitesimo. Di conseguenza, attorno ad un numero reale, esiste un intorno di numeri iperreali a distanza infinitesima da esso, i quali costituiscono l'insieme degli a + ε: tale insieme viene detto monade e viene indicato con μ(a).

Si dimostra che ε è minore di ogni numero reale positivo.

In maniera più formale la monade di un numero a viene definita come la classe di equivalenza della relazione a\simeq b se a-b è un numero infinitesimo o 0.

Non continuità della retta degli iperreali[modifica | modifica wikitesto]

La retta dei reali è immersa nella retta degli iperreali. Per quest'ultima non vale l'assioma di Archimede, quindi non è detto che, dati due numeri a e b, con a < b, esista un intero N per cui vale la relazione Na > b. Come conseguenza, non sempre esiste l'elemento di separazione tra due semirette.

Dimostrazione

Supponiamo infatti di dividere la retta degli iperreali in due semirette: una parte r che contiene tutti gli iperreali negativi, lo zero e tutti gli iperreali infinitesimi. L'altra parte r' contiene tutti gli iperreali non infinitesimi positivi. Per assurdo, supponiamo che σ sia l'elemento di separazione: esso sarà maggiore di zero e maggiore di tutti gli elementi di r. Se σ appartenesse ad r, sarebbe infinitesimo. Ma, per la definizione di infinitesimo, anche 2σ e Nσ, con N grande a piacere, lo sarebbero, ed apparterrebbero ad r. Tuttavia Nσ>σ e dunque non può essere σ l'elemento di separazione. Se supponiamo invece che σ appartenga ad r' , allora non è infinitesimo, e dunque nemmeno σ/2 o σ/N, con N grande a piacere. Ma simmetricamente σ/N< σ, e ciò non è possibile. Quindi non esiste un elemento di separazione tra r' ed r.

Costruzione dell'insieme degli iperreali[modifica | modifica wikitesto]

In questo modo si è in grado di costruire un insieme iperreale più ampio rispetto a quello reale. Si indichi l'insieme dei reali, dotato delle operazioni di somma e prodotto ed ordinato usualmente, nel modo seguente:

\mathfrak{R} = (\mathbb{R}, +, \cdot, \le)

L'insieme degli iperreali sarà pertanto indicato come:

\mathfrak{R}^{*} = (\mathbb{R}^{*}, +^{*}, \cdot^{*}, \le^{*})

Sia ora \mathbb{N} l'insieme dei numeri naturali e \mathbb{R} l'insieme delle successioni dei numeri reali, di modo che ciascun suo elemento abbia la forma:

r = \langle r_1, r_2, r_3, ... \rangle = \langle r_i \rangle con  i \in \mathbb{N}

Le operazioni di somma e moltiplicazione sono pertanto definite da:

r \oplus s = \langle r_i + s_i \rangle
r \otimes s = \langle r_i \cdot s_i \rangle

Ora, se r ed s sono due elementi di \mathbb{R}, allora si dirà che r \equiv s se e solo se \{i \in \mathbb{N} : r_i = s_i \} \in \mathfrak{U}, dove \mathfrak{U} è un ultrafiltro sui naturali.

Questa relazione \equiv sarà di equivalenza su \mathbb{R}. A questo punto è possibile partizionare tale insieme in classi di equivalenza. L'insieme di queste classi è indicato con \mathbb{R}^{*} e la classe contenente una particolare successione s, sarà indicata da [s] o s. Gli elementi di \mathbb{R}^{*} sono detti numeri iperreali.

Operazioni e relazioni[modifica | modifica wikitesto]

A questo punto è possibile definire operazioni e relazioni sugli iperreali:

  • r + s = [ \langle r_i + s_i \rangle ] cioè [r] + [s] = [r \oplus s]
  • r \cdot s = [ \langle r_i \cdot s_i \rangle ] cioè [r] \cdot [s] = [r \otimes s]
  • r < s se e solo se \{i \in \mathbb{N} : r_i < s_i \} \in \mathfrak{U}
  • r \le s se e solo se r < s o r = s

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica