Numero di Cullen

In matematica si chiamano numeri di Cullen e si indicano con $C_n$ i numeri naturali tali che

$C_n = n \cdot 2^n + 1$

La sequenza

Furono studiati per la prima volta da James Cullen nel 1905. Gli studi di Cullen sui numeri di questo tipo furono utilizzati nel 1917 da Allan J. C. Cunningham e H. J. Woodall per la (simile) definizione dei numeri di Woodall. I primi numeri di Cullen sono:

$C_1 = 3$

$C_2 = 9$

$C_3 = 25$

$C_4 = 65$

$C_5 = 161$

$C_6 = 385$

$C_7 = 897$

(sequenza A002064 dell'OEIS).

I primi di Cullen

I numeri di Cullen che sono anche primi vengono chiamati Numeri primi di Cullen. I primi valori di $n$ che rendono primi i numeri di Cullen sono $1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419$ (sequenza A005849 dell'OEIS). A differenza dei numeri primi di Woodall, i primi di Cullen sono molto difficili da calcolare. I primi due sono

$C_1 = 3$

$C_{141} = 393050634124102232869567034555427371542904833 \approx 3{,}93 \cdot 10^{44}$

Ad agosto 2009 Il numero $n$ più alto conosciuto che genera un numero primo di Cullen è $6679881$ e origina un primo composto da 2010852 cifre. Tale numero è stato scoperto da Magnus Bergman nell'ambito del progetto di calcolo distribuito PrimeGrid.

Proprietà

Un numero di Cullen è divisibile per $p = 2n - 1$ se $p$ è un numero primo di forma $p = 8k - 3$. Inoltre, grazie al Piccolo teorema di Fermat, sappiamo che $p$ sarà un numero dispari, e ne segue che $p$ divide anche $C_{m(k)}$ per ogni $m(k) = (2^k - k)(p -1) - k$ per ogni $k$ positivo.

È stato inoltre dimostrato che $p$ divide il numero

$C_{\frac {p+1}{2}}$

quando Simbolo di Jacobi $\left( \frac{p}{2} \right)$ è $-1$

e divide

$C_{\frac{3p-1}{2}}$

se il Simbolo di Jacobi $\left( \frac{p}{2} \right)$ è $+1$

Numero di Cullen generalizzato

Un numero di forma

$C_{n} = n \cdot b^n + 1$

è chiamato Numero di Cullen generalizzato.

Voci correlate

• Numero di Woodall
• Numeri primi

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