Numero di Cullen

In matematica si chiamano numeri di Cullen e si indicano con $C_n \,$ i numeri naturali tali che

$C_n = n \cdot 2^n + 1 \,$

La sequenza

Furono studiati per la prima volta da James Cullen nel 1905. Gli studi di Cullen sui numeri di questo tipo furono utilizzati nel 1917 da Allan J. C. Cunningham e H. J. Woodall per la (simile) definizione dei numeri di Woodall. I primi numeri di Cullen sono:

$C_1 = 3 \,$

$C_2 = 9 \,$

$C_3 = 25 \,$

$C_4 = 65 \,$

$C_5 = 161 \,$

$C_6 = 385 \,$

$C_7 = 897 \,$

(sequenza A002064 dell'OEIS).

I primi di Cullen

I numeri di Cullen che sono anche primi vengono chiamati Numeri primi di Cullen. I primi valori di $n \,$ che rendono primi i numeri di Cullen sono $1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419 \,$ (sequenza A005849 dell'OEIS). A differenza dei numeri primi di Woodall, i primi di Cullen sono molto difficili da calcolare. I primi due sono

$C_1 = 3 \,$

$C_{141} = 393050634124102232869567034555427371542904833 \approx 3.93 \cdot 10^{44} \,$

Ad agosto 2009 Il numero $n \,$ più alto conosciuto che genera un numero primo di Cullen è $6679881 \,$ e origina un primo composto da 2010852 cifre. Tale numero è stato scoperto da Magnus Bergman nell'ambito del progetto di calcolo distribuito PrimeGrid.

Proprietà

Un numero di Cullen è divisibile per $p = 2n - 1 \,$ se $p \,$ è un numero primo di forma $p = 8k - 3 \,$. Inoltre, grazie al Piccolo teorema di Fermat, sappiamo che $p \,$ sarà un numero dispari, e ne segue che $p \,$ divide anche $C_{m(k)} \,$ per ogni $m(k) = (2^k - k)(p -1) - k \,$ per ogni $k \,$ positivo.

È stato inoltre dimostrato che $p \,$ divide il numero

$C_{\frac {p+1}{2}} \,$

quando Simbolo di Jacobi $\left( \frac{p}{2} \right) \,$ è $-1 \,$

e divide

$C_{\frac{3p-1}{2}} \,$

se il Simbolo di Jacobi $\left( \frac{p}{2} \right) \,$ è $+1 \,$

Numero di Cullen generalizzato

Un numero di forma

$C_{n} = n \cdot b^n + 1 \,$

è chiamato Numero di Cullen generalizzato.

Voci correlate

• Numero di Woodall
• Numeri primi

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