Numero di Cullen

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica si chiamano numeri di Cullen e si indicano con C_n i numeri naturali tali che

C_n = n \cdot 2^n + 1


La sequenza[modifica | modifica sorgente]

Furono studiati per la prima volta da James Cullen nel 1905. Gli studi di Cullen sui numeri di questo tipo furono utilizzati nel 1917 da Allan J. C. Cunningham e H. J. Woodall per la (simile) definizione dei numeri di Woodall. I primi numeri di Cullen sono:

C_1 = 3
C_2 = 9
C_3 = 25
C_4 = 65
C_5 = 161
C_6 = 385
C_7 = 897

(sequenza A002064 dell'OEIS).

I primi di Cullen[modifica | modifica sorgente]

I numeri di Cullen che sono anche primi vengono chiamati Numeri primi di Cullen. I primi valori di n che rendono primi i numeri di Cullen sono  1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419 (sequenza A005849 dell'OEIS). A differenza dei numeri primi di Woodall, i primi di Cullen sono molto difficili da calcolare. I primi due sono

C_1 = 3
C_{141} = 393050634124102232869567034555427371542904833 \approx 3{,}93 \cdot 10^{44}

Ad agosto 2009 Il numero n più alto conosciuto che genera un numero primo di Cullen è  6679881 e origina un primo composto da 2010852 cifre. Tale numero è stato scoperto da Magnus Bergman nell'ambito del progetto di calcolo distribuito PrimeGrid.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Un numero di Cullen è divisibile per p = 2n - 1 se p è un numero primo di forma p = 8k - 3 . Inoltre, grazie al Piccolo teorema di Fermat, sappiamo che p sarà un numero dispari, e ne segue che p divide anche C_{m(k)} per ogni m(k) = (2^k - k)(p -1) - k per ogni k positivo.

È stato inoltre dimostrato che p divide il numero

C_{\frac {p+1}{2}}

quando Simbolo di Jacobi \left( \frac{p}{2} \right) è -1

e divide

C_{\frac{3p-1}{2}}

se il Simbolo di Jacobi \left( \frac{p}{2} \right) è +1

Numero di Cullen generalizzato[modifica | modifica sorgente]

Un numero di forma

C_{n} = n \cdot b^n + 1

è chiamato Numero di Cullen generalizzato.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica