Numero beth

In matematica, e più precisamente in teoria degli insiemi, $\beth$ ("bet"), la seconda lettera dell'alfabeto ebraico, viene utilizzata per indicare una particolare successione di numeri cardinali.

La successione è parametrizzata sui numeri ordinali e definita per induzione transfinita come segue:

• $\beth_0 = \aleph_0$
• $\beth_{\alpha + 1} = 2^{\aleph_\alpha}$
• $\beth_\lambda = \sup \{\beth_\alpha \mid \alpha < \lambda \}$

Numeri beth e numeri aleph

Per le regole dell'aritmetica dei cardinali, dato un cardinale $k$ si ha che $2^k$ è la cardinalità dell'insieme di funzioni da $k$ in $\{0,1\}$, che non è altro che la cardinalità di $\mathcal P(k)$, l'insieme delle parti di $k$.

Alla luce di questa osservazione, il secondo "tassello" della definizione della successione può essere riscritto come:

• $\beth_{\alpha + 1} = \left | \mathcal P(\aleph_\alpha) \right |$

A questo punto si nota che i primi elementi della successione sono i cardinali più utilizzati in matematica:

• $\beth_0$ è la cardinalità del numerabile
• $\beth_1$ è la cardinalità del continuo, cioè di $\mathbb R$
• $\beth_2$ è la cardinalità di $\mathcal P(\mathbb R)$, ovvero il "numero" di insiemi di numeri reali

Sorge spontanea la domanda "Tutti i cardinali fanno parte di questa successione?"

In altre parole: la successione dei numeri $\beth$ coincide con quella dei numeri $\aleph$?

Che $\beth_0$ coincida con $\aleph_0$, è vero per definizione. Andando in ordine, il primo caso non banale è quindi $\beth_1$, la cui equivalenza con $\aleph_1$ però non è altro che l'ipotesi del continuo, che è dimostrata essere indecidibile se ci si basa sugli assiomi standard della matematica.

In generale, l'equivalenza $\beth_\alpha = \aleph_\alpha$ è la cosiddetta ipotesi generalizzata del continuo, ed è ovviamente indecidibile, dato che lo è un suo caso particolare.

Numeri beth e gerarchia di Von Neumann

Una definizione alternativa dei numeri beth è $\beth_\alpha = | V_\alpha |$, dove $V_\alpha$ è l'$\alpha$-esimo elemento della gerarchia di Von Neumann. Questa osservazione, unita all'assioma di fondazione, permette tra l'altro di stabilire che la successione dei numeri beth è illimitata (non esiste un cardinale maggiore di $\beth_\alpha$ per ogni ordinale $\alpha$).

Voci correlate

• Numero aleph

Note

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