Numero beth

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In matematica, e più precisamente in teoria degli insiemi, \beth ("beth"), la seconda lettera dell'alfabeto ebraico, viene utilizzata per indicare una particolare successione di numeri cardinali.[1]

La successione è parametrizzata sui numeri ordinali e definita per induzione transfinita come segue:

\begin{cases} \beth_0 = \aleph_0\\ \beth_{\alpha + 1} = 2^{\beth_\alpha} \\\beth_\lambda = \sup \{\beth_\gamma \mid \gamma\in \lambda \}\qquad con\quad \lambda\quad limite\end{cases}

Numeri beth e numeri aleph[modifica | modifica sorgente]

Per le regole dell'aritmetica dei cardinali, dato un cardinale k si ha che 2^k è la cardinalità dell'insieme di funzioni da k in \{0,1\}, che non è altro che la cardinalità di \mathcal P(k), l'insieme delle parti di k.

Alla luce di questa osservazione, il secondo "tassello" della definizione della successione può essere riscritto come:

  • \beth_{\alpha + 1} = \left | \mathcal P(\beth_\alpha) \right |

A questo punto si nota che i primi elementi della successione sono i cardinali più utilizzati in matematica:

Sorge spontanea la domanda "Tutti i cardinali fanno parte di questa successione?"

In altre parole: la successione dei numeri \beth coincide con quella dei numeri \aleph?

Che \beth_0 coincida con \aleph_0, è vero per definizione. Andando in ordine, il primo caso non banale è quindi \beth_1, la cui equivalenza con \aleph_1 però non è altro che l'ipotesi del continuo, che è dimostrata essere indecidibile se ci si basa sugli assiomi standard della matematica.

In generale, l'equivalenza \beth_\alpha = \aleph_\alpha è la cosiddetta ipotesi generalizzata del continuo, ed è ovviamente indecidibile, dato che lo è un suo caso particolare.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ In italiano il nome della lettera è bet, ma in matematica si usa scrivere beth, come nella letteratura anglofona e germanica, similmente a quanto avviene per i numeri aleph.
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