Numero armonico

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Un grafico della crescita dell'n-esimo numero armonico H_{n,1} con n=\lfloor{x}\rfloor (linea rossa) insieme al suo limite asintotico \gamma+\ln[x] (linea blu).

In matematica, per ogni intero naturale n si definisce come n-esimo numero armonico la somma:

H_n= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}

Si tratta evidentemente di numeri razionali e si dimostra che le corrispondenti frazioni ridotte ai minimi termini hanno numeratore dispari e denominatore pari.

In concreto i primi termini della successione dei numeri armonici sono:

1, 3/2, 11/6, 25/12, 137/60, 49/20, 363/140, 761/280, 7129/2520, 7381/2520, 83711/27720, ...

I numeratori dei numeri armonici sono detti numeri di Wostenholme e costituiscono la successione A001008 dell'OEIS. I denominatori costituiscono la successione A002805 dell'OEIS.

I numeri armonici costituiscono le somme troncate della serie armonica, notoriamente divergente.

Numeri armonici alternati[modifica | modifica sorgente]

I numeri armonici sono strettamente collegati a quelli che si possono chiamare numeri armonici alternati

H'_n := \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\frac{1}{k} .

Questi sono le somme troncate della serie armonica alternata notoriamente convergente e sono esprimibili mediante i numeri armonici dalle formule

H'_{2n} = H_{2n}-H_n  \qquad H'_{2n+1} = H_{2n}-H_n+\frac{1}{2n+1}

Espressione analitica[modifica | modifica sorgente]

I numeri armonici (e quindi anche i numeri armonici alternati) si possono esprimere analiticamente come

\,H_n = \gamma + \Psi(n+1)

mediante la costante di Eulero - Mascheroni e la funzione digamma (e di conseguenza mediante la funzione gamma)

\Psi(z) \equiv \psi_0(z) := \frac{d}{dz} \ln \Gamma(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}.

Numeri armonici generalizzati[modifica | modifica sorgente]

Il concetto di numero armonico può essere generalizzato con la seguente definizione.

Fissati due interi naturali m ed n, si definisce come n-esimo numero armonico generalizzato di esponente m la somma:

H^{(m)}_n := \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^m}

Si può notare che i numeri armonici sono il caso particolare di numeri armonici generalizzati di esponente 1.

Per m negativi, si ottiene la somma di potenze di interi successivi

\sum_{k=1}^n k^m

che è strettamente legata ai polinomi di Bernoulli.

Collegamenti[modifica | modifica sorgente]

I numeri armonici e i numeri armonici generalizzati che li comprendono si incontrano in numerose aree della matematica riferibili alla combinatoria e allo studio delle funzioni speciali. Essi intervengono nello studio di funzioni speciali particolari, ad es. della funzione poligamma della funzione polilogaritmo e della funzione zeta di Riemann; essi inoltre si incontrano in recenti sviluppi di elevata generalità, come le questioni collegate all'approssimazione di Hermite-Padé.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • R. L. Graham, D. E. Knuth and O. Patashnik (1990): Concrete Mathematics, Addison-Wesley, p. 259.
  • D. E. Knuth: The Art of Computer Programming. Addison-Wesley, Vol. 1, p. 615.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]


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