Nodo primo

I nodi primi fino a 7 incroci.

In matematica, e più precisamente in teoria dei nodi, un nodo primo è un nodo che non può essere "decomposto" in nodi più semplici, in analogia con la nozione di numero primo.

I nodi primi sono quindi i mattoni fondamentali della teoria dei nodi.

Definizione

Un nodo $K$ non banale è primo se non è ottenibile come somma connessa

$K=H_{1}\#H_{2}$

di due nodi non banali.

Nella teoria dei nodi vi è un teorema di fattorizzazione analogo al teorema fondamentale dell'aritmetica, che asserisce che ogni nodo è ottenibile in modo unico come somma connessa di alcuni nodi primi. Per questo motivo i nodi primi hanno un ruolo centrale nella teoria dei nodi: una loro classificazione è stato da sempre il tema centrale della teoria fin dalla fine del XIX secolo.

In analogia con i numeri primi, si richiede nella definizione che il nodo banale non sia primo (il numero 1 infatti non è primo).

I nodi primi più semplici

I nodi primi sono generalmente descritti tramite diagrammi, con ordine crescente di incroci. Il nodo primo più semplice in questa descrizione è il nodo a trifoglio con 3 incroci, seguito dal nodo a otto con quattro incroci. La tabella seguente mostra il numero di nodi primi con $n$ incroci.

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Numero di nodi primi con $n$ incroci	0	0	1	1	2	3	7	21	49	165

Nella tabella due nodi ottenuti tramite una riflessione lungo un piano vengono considerati equivalenti: non si tiene conto cioè della chiralità (esistono ad esempio "due versioni" del nodo a trifoglio, e qui ne viene contata una sola).

Nella tabella seguente sono disegnati tutti i nodi primi ottenibili con 6 incroci:

3	4	5	5	6	6	6

Voci correlate

• Somma connessa

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Collegamenti esterni

• (EN) Prime Knot su MathWorld.