Moto parabolico

Moto parabolico descritto da un getto d'acqua.

Moto parabolico di un pallone da basket.

Il moto parabolico è un tipo di moto bidimensionale esprimibile attraverso la combinazione di due moti rettilinei simultanei ed indipendenti:

• moto rettilineo uniforme
• moto uniformemente accelerato.

Il moto parabolico può essere descritto mediante le relazioni della cinematica che legano i vettori posizione, velocità, ed accelerazione. La più significativa realizzazione di tale moto è fornita dal moto del proiettile in cui si utilizzano le seguenti esemplificazioni (approssimazioni della fisica e della geometria del problema):

• tutta la massa e la geometria del corpo sono concentrate in un unico punto;
• l'accelerazione del moto è verticale; il suo modulo è pari all'accelerazione di gravità sulla crosta terrestre: g = 9.81 m/s². Dunque, il corpo si trova in un campo di gravità uniforme ed indipendente dal tempo;
• le eventuali forme di attriti legate alla resistenza dell'aria sono trascurabili.

Analisi del moto parabolico: traiettoria

Si supponga che un corpo sia lanciato all'istante t=0 nell'origine O di un sistema di coordinate cartesiano Oxy, e che la velocità iniziale abbia modulo v₀ e formi un angolo θ con l'asse x orizzontale.

Traiettoria parabolica del punto

Dalle leggi del moto uniformemente accelerato si ha:

$\bar v (t) = \bar v_0 + \int_{0}^{t} \bar a (t) dt$

Ipotizzando che il corpo si trovi in prossimità della Terra, è possibile considerare la funzione a(t) come costante, con valore pari a -g diretta lungo la perpendicolare al terreno (asse y), per cui si ha:

$\bar v (t) = \bar v_0 - g \cdot t \cdot\hat u_y$

Come si può notare dalla formula, la velocità giace sempre nel piano formato dai vettori costanti v₀ e g, ovvero quello su cui si svolge il moto.

Il vettore velocità può essere scomposto lungo le due componenti x e y:

$\bar v_0 = v_0 \cos{\theta}\cdot \hat u_x + v_0 \sin{\theta}\cdot \hat u_y.$

Dalla relazione precedente, si ricava:

$\bar v(t) = v_0 \cos {\theta} \cdot\hat u_x + (v_0 \sin {\theta} - g t)\cdot \hat u_y$

Proiettando le velocità sugli assi si ottengono le componenti:

$v_x = v_0\,\cos{\theta},$

costante nel tempo, e

$v_y = v_0\,\sin{\theta} - g\,t$,

da cui si ricavano le leggi orarie dei moti lungo gli assi x e y:

$x(t) = v_0\,\cos {\theta} \,t$

$y(t) = v_0\,\sin {\theta} \, t - \frac {1}{2} g\,t^2$

La traiettoria viene ricavata eliminando la variabile temporale, ossia, esprimendo il rapporto:

$\frac{y}{x} = \frac{v_0 \sin {\theta}t-\frac{1}{2}gt^2}{v_0 \cos {\theta}t} = \tan {\theta}-\frac{gt}{2v_0 \cos {\theta}}$

e esplicitando il parametro $t$ dalla legge oraria $x(t)$:

$t=\frac{x}{v_0 \cos{\theta}}$

In tal modo si arriva all'equazione cartesiana:

$\frac{y}{x} = \tan {\theta}-\frac{gt}{2v_0 \cos {\theta}} = \tan {\theta} -\frac{g}{2 v_0 \cos {\theta}} \cdot \frac{x}{v_0 \cos {\theta}}$

da cui, moltiplicando per x ambo i membri, si ottiene

$\ y = x \tan {\theta} - \frac {g}{2 v_0^2 \cos^2 {\theta}}\cdot x^2$

che rappresenta una parabola con concavità rivolta verso il basso, il cui grafico è rappresentato in figura.

Gittata

La gittata, cioè la distanza fra il punto di lancio O e quello di atterraggio G (nell'ipotesi, ovviamente, che questi si trovino alla stessa altezza), si calcola trovando i punti per cui la parabola si annulla. Essendo l'equazione di secondo grado, si ottengono due soluzioni:

$x = 0$

$x_G = \frac {2 v_0^2 \cos^2 {\theta} \tan {\theta}}{g} = \frac {2 v_0^2 \cos {\theta} \sin {\theta}}{g} = \frac {v_0^2 \sin {2\theta}}{g}$

Dove l'ultimo passaggio è giustificato dalla formula di duplicazione del seno.

Altezza massima

Siccome il moto parabolico è simmetrico rispetto all'asse passante per il vertice e parallelo all'asse y (proprietà della parabola), l'ascissa del punto di atterraggio è due volte l'ascissa del vertice della parabola, ovvero il doppio dell'ascissa del punto di massima altezza. Tale ascissa è dunque:

$x = \frac { v_0^2 \cos {\theta} \sin {\theta}}{g}$

Sostituendo nell'equazione della parabola esplicitata precedentemente si ha che:

$y_M= \frac {v_0^2 \sin^2{\theta}}{2g}$

Angolo di lancio per la gittata massima

Fissata v(0), ci si chiede per quale angolo la gittata è massima.

$x_G = \frac { v_0^2 \sin {2\theta}}{g}$

Innanzitutto avendo assunto v(0) e g costanti, è sufficiente trovare il valore per il quale $\sin {2\theta}$ è massimo. Poiché $-1 < \sin {2\theta} <1$ il massimo si ha per

$\sin {2\theta}=1$

ossia per

$\theta = \frac {\pi}{4}$

da cui:

$(x_G) = \frac {v_0^2}{g}$

Tempo di volo

Il tempo di volo è il tempo fra l'istante del lancio e quello di arrivo del corpo, che coincide con il tempo necessario a percorrere il tratto OG con la velocità v_x:

$t_G = \frac {x_G}{v_0 cos{\theta}} = \frac {2 v_0 sin {\theta}}{g} = 2 t_M$

Osservazioni

Quanto studiato sopra è una situazione semplificata in quanto, nella realtà, i corpi risentono dell'attrito dell'aria, che agisce opponendosi al moto. La principale conseguenza che ha sul moto questa forza è che la gittata e il tempo di volo diminuiscono.

Dinamica del moto del proiettile

Un tipico esempio di moto parabolico è quello del proiettile, di cui si occupa la balistica. Un proiettile in volo è sottoposto alla forza di gravità della Terra. Nell'ipotesi di attrito dell'aria trascurabile, il secondo principio della dinamica porta ad un'accelerazione che può essere scomposta nel seguente modo:

$a_x = 0$

$a_y = - g$

Se il proiettile viene sparato con velocità iniziale v₀ secondo un angolo θ, si ottengono le seguenti componenti di velocità:

$v_x = v_0 \cdot \cos {\theta}$

$v_y = v_0 \cdot \sin {\theta} - g t$

Le componenti della posizione del proiettile sono quindi:

$x(t) = v_0 \cos {\theta} \cdot t$

$y(t) = v_0 \sin {\theta} \cdot t - \frac {1}{2} g t^2$

Il moto lungo l'asse x è quindi uniforme, e quello lungo l'asse y accelerato. Se la velocità iniziale fosse stata pari a zero, il moto sarebbe stato di caduta libera.

Altri progetti

• Commons

• Commons contiene immagini o altri file su Moto parabolico

Collegamenti esterni

• Java applet of projectile motion

Portale Meccanica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di meccanica