Momento statico

Rappresentazione degli elementi utilizzati per calcolare, integrando, il momento statico. L'area azzurra A, un suo infinitesimo dA, e le sue distanze dagli assi y e z

Il momento statico (detto anche momento di primo ordine o meno propriamente primo momento d'inerzia) è una proprietà geometrica relativa ad un'area piana, definita dall'integrale del prodotto tra l'area e la sua distanza da un certo asse.

Questa proprietà rappresenta la distribuzione della forma dell'area presa in considerazione in relazione ad un certo asse. Il momento statico è spesso abbreviato come S, talvolta con a pedice l'asse a cui è riferito (S_x, S_y, etc.).

Definizione

Data un'area A di qualunque forma e dividendo tale area in n piccoli elementi d'area (dA_i). Definiamo x_i e y_i come le distanze (le coordinate) di ogni elementino dagli assi x-y. Dunque, i momenti statici nelle direzioni x e y sono dati rispettivamente da:

$S_x = A \bar y = \sum_{i=1}^n {y_i \, dA_i} = \int_A y \, dA$

$S_y = A \bar x = \sum_{i=1}^n {x_i \, dA_i} = \int_A x \, dA$

Possiamo notare che, come già anticipato nelle formule sopra, il momento statico coincide con il semplice prodotto dell'area A per la distanza media $\bar d$ (descritta con una barra sopra la lettera) dell'area dall'asse scelto (che non è altro che la coordinata del baricentro dell'area nella direzione perpendicolare all'asse).

Relazione con il baricentro

Come appare evidentemente dalla definizione, c'è uno stretto legame tra momento statico e baricentro ($\bar x , \bar y$ oppure X_G, Y_G). Difatti, conoscendo il momento statico e l'estensione dell'area in questione, si possono trovare le coordinate del baricentro e viceversa.

$X_G=\frac{S_y}{A}$

$Y_G=\frac{S_x}{A}$

Utilizzo in meccanica

Sforzo di taglio

Per approfondire, vedi Sforzo di taglio.

È comodo considerare il momento statico in meccanica, in particolare nelle equazioni riferite allo sforzo di taglio applicato ad una trave tridimensionale. La sezione ove è applicata l'azione tagliante è soggetta ad uno scorrimento trasversale, con la generazione di tensioni tangenziali, secondo la formula di Jourawski:

$\tau = \frac{TS(y)}{Ib}$

• T è l'azione tagliante (N)
• S momento statico (rispetto all'asse baricentrico) della sezione resistente (mm³), ovvero della porzione di sezione compresa tra lo sforzo e la dividente normale ad esso nel punto dove si calcola la tensione.
• I momento di inerzia della sezione (mm⁴)
• b larghezza media della sezione (mm)

Bibliografia

• Andrea Bernasconi, Mauro Filippini, Marco Giglio, Fondamenti di costruzione di macchine, Milano, McGraw-Hill, 2006.

Voci correlate

• Momento d'inerzia

Collegamenti esterni

• Lezione universitaria sul momento statico, uniroma3.it
• Lezione scolastica dedicata al momento statico, Istituto Superiore Miraglia, isislauria.it