Dipolo elettrico

Linee di forza del campo elettrico generato da un dipolo elettrico.

Un dipolo

In elettrostatica un dipolo elettrico è un sistema composto da due cariche elettriche uguali e opposte di segno e separate da una distanza costante nel tempo. È uno dei più semplici sistemi di cariche che si possano studiare e rappresenta l'approssimazione basilare del campo elettrico generato da un insieme di cariche globalmente neutro, trattandosi del primo termine dello sviluppo in multipoli di quest'ultimo.

Momento elettrico

Dato un sistema di cariche, il momento elettrico, o momento di dipolo, è una grandezza vettoriale che quantifica la separazione tra le cariche positive e negative, ovvero la polarità del sistema, e si misura in Coulomb per metro.

Date due cariche di segno opposto e uguale modulo $q$, il momento elettrico $\mathbf{p}$ è definito come:

$\mathbf{p} = q\mathbf{d}$

dove $\mathbf d$ è il vettore spostamento dell'uno rispetto all'altro, orientato dalla carica negativa alla carica positiva e per il quale deve valere:

$\dot \mathbf{d} = \mathbf 0$

Questa notazione significa che la derivata del vettore $\mathbf d$ rispetto al tempo deve essere nulla, cioè il vettore $\mathbf d$ si mantiene costante (in modulo, direzione e verso) nel tempo. Nel caso di una distribuzione continua di carica che occupa un volume $V$, l'espressione per il momento elettrico è:

$\mathbf{p}(\mathbf{r}) = \int\limits_{V} \rho(\mathbf{r}_0)\, (\mathbf{r}_0-\mathbf{r}) \ d^3 \mathbf{r}_0$

dove $\mathbf r$ è la posizione di osservazione, $d^3 \mathbf r_0$ l'elemento infinitesimo di volume in $V$ e $\rho$ è la densità volumetrica di carica, misurata in C m^-3. Quindi $\rho(\mathbf{r}_0)$ è la quantità di carica contenuta nel volume infinitesimo $\ d^3 \mathbf{r}_0$ centrato nel punto $\mathbf{r}_0$.

Per una distribuzione discreta di carica la densità di carica viene descritta attraverso la delta di Dirac:

$\rho (\mathbf{r}) = \sum_{i=1}^N \, q_i \, \delta (\mathbf{r} - \mathbf{r}_i)$

dove $\mathbf r_i$ è la posizione della carica $q_i$, ed integrando sul volume si ha:

$\mathbf{p}(\mathbf{r}) = \int\limits_{V} \sum_{i=1}^N \, q_i \, \delta (\mathbf{r} - \mathbf{r}_i) \, (\mathbf{r}_0-\mathbf{r}) \ d^3 \mathbf{r}_0 = \sum_{i=1}^N \, q_i \left( \int\limits_V \delta(\mathbf{r}_0 - \mathbf{r}_i )\, (\mathbf{r}_0 - \mathbf{r}) \ d^3 \mathbf{r}_0 \right) = \sum_{i=1}^N \, q_i (\mathbf{r}_i-\mathbf{r})$

Potenziale elettrico

Schematizzazione del potenziale elettrico generato da un dipolo orientato orizzontalmente.

Per approfondire, vedi potenziale elettrico.

Il potenziale elettrico di una carica è:

$V_0 (P) = \frac {q}{4 \pi \varepsilon_0 \left \| \mathbf r - \mathbf r' \right \|}$

Dove con $\mathbf r$ si è indicato il vettore posizione della carica puntiforme $q$ rispetto al sistema di riferimento scelto e con $\mathbf r'$ il vettore posizione della carica di prova.
È semplice, quindi, calcolare il potenziale generato dal sistema delle due cariche (di segno opposto), come somma dei potenziali delle singole cariche:

$V_0 (P) = \frac {q}{4 \pi \varepsilon_0} \left ( \frac {1}{r_1} - \frac {1}{r_2} \right )$

Per $r >> d$ si possono utilizzare le semplici approssimazioni:

$r_1 \cdot r_2 \simeq r^2 \qquad r_2 - r_1 = d \cos \theta$

si ottiene alla fine un potenziale di dipolo che ha la seguente espressione:

$V_0 (P) = \frac {q d \cos \theta} {4 \pi \varepsilon_0 r^2} = \frac {\mathbf p \cdot \mathbf r}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}$

dove $\varepsilon_0$ è la costante dielettrica del vuoto e:

$\mathbf p \cdot \mathbf r = p \cdot r \cos \theta$

Il potenziale risulta essere nullo sull'asse del dipolo e diminuisce con l'inverso del quadrato della distanza. Da notare che le considerazioni riguardanti il dipolo valgono formalmente sia nel vuoto che in presenza di materia quando $d << r$.

Campo elettrico

Ricordando la conservatività del campo elettrostatico tramite:

$\mathbf E_0 = - \mathbf \nabla V_0$

possiamo ricavare il campo elettrico in coordinate polari sferiche oppure in coordinate cartesiane (il dipolo è orientato secondo l'asse z):

$\begin{cases} E_{0r} = - \frac {\partial V_0}{\partial r} = \frac {2p \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} \\ \\ E_{0\theta} = - \frac {1}{r} \frac {\partial V_0}{\partial \theta} = \frac {p \sin \theta} {4\pi \varepsilon_0 r^3} \\ \\ E_{0\phi} = - \frac {1}{r\sin \theta} \frac {\partial V_0}{\partial \phi} = 0 \end{cases} \qquad \qquad \begin{cases} E_{0x} = - \frac {\partial V_0}{\partial x} = \frac{p}{4 \pi \varepsilon_0} \frac {3xz}{r^5} \\ \\ E_{0y} = - \frac {\partial V_0}{\partial y} = \frac{p}{4 \pi \varepsilon_0} \frac {3yz}{r^5} \\ \\ E_{0z} = - \frac {\partial V_0}{\partial z} = \frac {p} {4\pi \varepsilon_0}\left[ \frac {3z^2}{r^5} -\frac{1}{r^3}\right]= \frac{p}{4\pi \varepsilon_0} \frac{3z^2-r^2}{r^5}\end{cases}$

con intensità pari a:

$|\mathbf E_0(r,\phi,\psi)| = |\mathbf E_0(x,y,z)|=\frac {p\sqrt{1+3\cos^2 \theta}}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}=\frac {p \sqrt{(x^2+y^2+z^2)^{2} +3z^2(x^2+y^2+z^2)}}{4 \pi \varepsilon_0 r^5}$.

Si può ancora scrivere il campo come gradiente del prodotto tra il momento elettrico e il versore della distanza ridotto del quadrato della stessa. Il calcolo di tale quantità porta alla seguente espressione, più compatta:

$\mathbf E = \frac {3 \left ( \mathbf p \cdot \mathbf r \right ) \mathbf r - r^2 \mathbf p}{4 \pi \varepsilon_0 r^5}$

Energia potenziale elettrostatica

Se un dipolo è sottoposto a forze in un campo elettrico esterno qualunque, l'energia potenziale elettrostatica del dipolo è data dalla differenza di potenziale tra le due cariche, supposte come al solito molto vicine:

$U = q \left[V(x+dx,y+dy,z+dz) - V(x,y,z) \right] = q \left[ V(x,y,z) + \mathbf \nabla V \cdot \mathbf{\mbox{d}\delta} - V(x,y,z) \right] = q\mathbf{\mbox{d}\delta} \cdot \mathbf \nabla V(x,y,z)=-\mathbf p \cdot \mathbf E(x,y,z)$

dove $\mathbf{\mbox{d}\delta} = (dx,dy,dz)$ e $\mathbf p=q \mathbf{\mbox {d} \delta}$ è il momento elettrico del dipolo. Esplicitando il prodotto scalare:

$U=-pE \cos \theta$

con $\theta$ che rappresenta l'angolo compreso tra i due vettori.

Forze agenti su un dipolo elettrico immerso in un campo elettrico esterno

Dinamica

Il lavoro della coppia elettrica vale:

$\mbox {d}L=\mathbf F \cdot \mbox {d} \mathbf r + \mathbf M \cdot \mathbf{\mbox {d} \boldsymbol \theta}$

D'altro canto, differenziando l'energia del dipolo:

$\mbox {d}U= \frac{\partial U}{\partial \mathbf r} \cdot \mathbf{\mbox {d}r}+\frac{\partial U}{\partial \theta}\mbox {d} \theta =\mathbf \nabla U \cdot \mathbf{\mbox {d} (r,\theta)}$

dove si è fatto uso della derivata direzionale poiché per definizione l'energia potenziale appartiene alla prima classe di continuità. A questo punto si possono confrontare le due espressioni precedenti in particolare per il campo elettrico e, tenendo presente che il gradiente agisce solo sulle coordinate x,y,z e la dipendenza da $\theta$ è contenuta solo nel prodotto scalare:

$\mathbf F=- \mathbf \nabla U= \nabla (\mathbf p \cdot \mathbf E) \qquad \mathbf M= \mathbf p \times \mathbf E$

Siano, ora, due dipoli $\mu_1$ e $\mu_2$ che formano con la loro congiungente un angolo rispettivamente di $\theta_1$ e $\theta_2$. L'energia potenziale elettrica sarà

$U = \frac {\mu_1 \mu_2}{r^3} \left ( 2 cos \theta_1 \cdot cos \theta_2 - sin \theta_1 \cdot sin \theta_2 \cdot cos \varphi \right )$

dove $\varphi$ è l'azimut di $\mu_2$ rispetto al piano $\mu_1$-$r$.

Radiazione di dipolo oscillante

Per approfondire, vedi Radiazione di dipolo elettrico.

Un dipolo elettrico oscillante è un dipolo che ha polarizzazione elettrica dipendente periodicamente dal tempo, che può essere descritto da serie di Fourier formate da fattori della forma:

$\mathbf{p}=\mathbf{p'(\mathbf r)}e^{-i\omega t}$

dove $\omega$ è la frequenza angolare. Nel vuoto i campi prodotti sono:

$\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left\{ \frac{\omega^2}{c^2 r} ( \hat{\mathbf{r}} \times \mathbf{p} ) \times \hat{\mathbf{r}} + \left( \frac{1}{r^3} - \frac{i\omega}{cr^2} \right) \left[ 3 \hat{\mathbf{r}} (\hat{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{p}) - \mathbf{p} \right] \right\} e^{i\omega r/c}$

$\mathbf{B} = \frac{\omega^2}{4\pi\varepsilon_0 c^3} \hat{\mathbf{r}} \times \mathbf{p} \left( 1 - \frac{c}{i\omega r} \right) \frac{e^{i\omega r/c}}{r}$

In una posizione distante dal dipolo, per $\scriptstyle r \omega /c \gg 1$, i campi tendono a formare un'onda sferica nella configurazione limite:

$\mathbf{B} = \frac{\omega^2}{4\pi\varepsilon_0 c^3} (\hat{\mathbf{r}} \times \mathbf{p}) \frac{e^{i\omega r/c}}{r} \qquad \mathbf{E} = c \mathbf{B} \times \hat{\mathbf{r}}$

che produce una potenza totale, mediata nel tempo, data da:

$P = \frac{\omega^4}{12\pi\varepsilon_0 c^3} |\mathbf{p}|^2$

L'energia associata alla radiazione emessa non viene distribuita in modo isotropo, essendo concentrata intorno alla direzione perpendicolare al momento di dipolo, e tale equazione viene spesso descritta tramite l'utilizzo delle armoniche sferiche.

Il campo elettromagnetico associato al dipolo oscillante è alla base di numerose applicazioni tecnologiche, a partire dall'antenna a dipolo.

Molecole

Per approfondire, vedi Dipolo molecolare.

In chimica il momento elettrico di una molecola si riferisce alla somma vettoriale di tutti i momenti di legame presenti nella molecola stessa. Una molecola non polare possiede momento elettrico uguale a zero: questo è il caso, ad esempio, del metano o del biossido di carbonio le cui strutture geometriche (rispettivamente tetraedrica e lineare) annullano l'effetto dei singoli momenti dipolari di legame (il risultante è nullo). Legami omogenei, come quelli tra due atomi di cloro per formare una molecola Cl₂, non sono polari, essendo la differenza di elettronegatività nulla, e quindi non originano un momento elettrico. Comunemente si orienta il vettore momento elettrico delle entità chimiche con il verso rivolto verso la carica negativa, che corrisponde all'elemento più elettronegativo.

Bibliografia

• Corrado Mencuccini; Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010. ISBN 978-88-207-1633-2
• (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999. ISBN 047130932X

Voci correlate

• Campo elettrico
• Carica elettrica
• Dipolo magnetico
• Dipolo molecolare
• Monopolo elettrico
• Quadrupolo elettrico
• Radiazione di dipolo elettrico
• Sviluppo in multipoli

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