Dipolo elettrico

Linee di forza del campo elettrico generato da un dipolo elettrico.

Schematizzazione del potenziale elettrico generato da un dipolo orientato orizzontalmente.

Un dipolo

In fisica, più precisamente in elettrostatica, un dipolo elettrico è un sistema composto da due cariche elettriche uguali e opposte di segno. È uno dei più semplici sistemi di cariche che si possano studiare e rappresenta inoltre l'approssimazione basilare del campo generato da un insieme di cariche globalmente neutro tramite lo sviluppo in multipoli di quest'ultimo.

Momento elettrico

Dato un sistema di cariche, il momento elettrico, o momento di dipolo, è una grandezza vettoriale che quantifica la separazione tra le cariche positive e negative, ovvero la polarità del sistema, e si misura in Coulomb per metro.
Date due cariche di segno opposto e uguale modulo q, il momento elettrico p_E è definito come:

$\mathbf{p_E} = q\mathbf{d}$

dove d è il vettore spostamento dell'uno rispetto all'altro, orientato dalla carica negativa alla carica positiva.
Nel caso di una distribuzione continua di carica che occupa un volume V, l'espressione per il momento elettrico è:

$\mathbf{p_E}(\mathbf{r}) = \int\limits_{V} \rho(\mathbf{r}_0)\, (\mathbf{r}_0-\mathbf{r}) \ d^3 \mathbf{r}_0,$

dove r è la posizione di osservazione e d³r₀ l'elemento infinitesimo di volume in V.
Per una distribuzione discreta di carica la densità di carica viene descritta attraverso la delta di Dirac:

$\rho (\mathbf{r}) = \sum_{i=1}^N \, q_i \, \delta (\mathbf{r} - \mathbf{r}_i ),$

dove r_i è la posizione della carica q_i, ed integrando sul volume si ha:

$\mathbf{p_E}(\mathbf{r}) = \sum_{i=1}^N \, q_i \int\limits_V \delta(\mathbf{r}_0 - \mathbf{r}_i )\, (\mathbf{r}_0 - \mathbf{r}) \ d^3 \mathbf{r}_0 = \sum_{i=1}^N \, q_i (\mathbf{r}_i-\mathbf{r}).$

Potenziale elettrico

Per approfondire, vedi la voce potenziale elettrico.

Il potenziale elettrico di una carica è:

$V_0 (P) = \frac {q}{4 \pi \epsilon_0 \left \| \mathbf r - \mathbf r' \right \|}$

Dove con $\mathbf r$ si è indicato il vettore posizione della carica puntiforme q rispetto al sistema di riferimento scelto e con $\mathbf r'$ il vettore posizione della carica di prova.
È semplice, quindi, calcolare il potenziale generato dal sistema delle due cariche:

$V_0 (P) = \frac {q}{4 \pi \epsilon_0} \left ( \frac {1}{r_1} - \frac {1}{r_2} \right )$

Per r > > d si possono utilizzare le semplici approssimazioni:

$r_1 \cdot r_2 \simeq r^2 \,\!$

$r_2 - r_1 = d \cos \theta \,\!$

si ottiene alla fine un potenziale di dipolo che ha la seguente espressione:

$V_0 (P) = \frac {q d \cos \theta} {4 \pi \epsilon_0 r^2} = \frac {\mathbf p_E \cdot \mathbf r}{4 \pi \epsilon_0 r^3}$

dove ε₀ è la costante dielettrica del vuoto e:

$\mathbf p_E \cdot \mathbf r = p_E \cdot r \cos \theta$

Il potenziale risulta essere nullo sull'asse del dipolo e diminuisce con l'inverso del quadrato della distanza. Da notare che le considerazioni riguardanti il dipolo valgono formalmente sia nel vuoto che in presenza di materia quando d < < r.

Campo elettrico

Ricordando la conservatività del campo elettrostatico tramite:

$\mathbf E_0 = - \mathbf \nabla V_0$

possiamo ricavare il campo elettrico in coordinate polari sferiche oppure in coordinate cartesiane (il dipolo è orientato secondo l'asse z):

$\begin{cases} E_{0r} = - \frac {\partial V_0}{\partial r} = \frac {2p_E \cos \theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \\ \\ E_{0\theta} = - \frac {1}{r} \frac {\partial V_0}{\partial \theta} = \frac {p_E \sin \theta} {4\pi \epsilon_0 r^3} \\ \\ E_{0\phi} = - \frac {1}{r\sin \theta} \frac {\partial V_0}{\partial \phi} = 0 \end{cases} \qquad \qquad \begin{cases} E_{0x} = - \frac {\partial V_0}{\partial x} = \frac{p}{4 \pi \epsilon_0} \frac {3xz}{r^5} \\ \\ E_{0y} = - \frac {\partial V_0}{\partial y} = \frac{p}{4 \pi \epsilon_0} \frac {3yz}{r^5} \\ \\ E_{0z} = - \frac {\partial V_0}{\partial z} = \frac {p} {4\pi \epsilon_0}\left[ \frac {3z^2}{r^5} -\frac{1}{r^3}\right]= \frac{p}{4\pi \epsilon_0} \frac{3z^2-r^2}{r^5}\end{cases}$

con intensità pari a:

$|\mathbf E_0(r,\phi,\psi)| = |\mathbf E_0(x,y,z)|=\frac {p_E\sqrt{1+3\cos^2 \theta}}{4 \pi \epsilon_0 r^3}=\frac {p_E \sqrt{(x^2+y^2+z^2)^{2} +3z^2(x^2+y^2+z^2)}}{4 \pi \epsilon_0 r^5}$.

Si può ancora scrivere il campo come gradiente del prodotto tra il momento elettrico e il versore della distanza ridotto del quadrato della stessa. Il calcolo di tale quantità porta alla seguente espressione, più compatta:

$\mathbf E = \frac {3 \left ( \mathbf p_E \cdot \mathbf r \right ) \mathbf r - r^2 \mathbf p}{4 \pi \epsilon_0 r^5}$

Energia potenziale elettrostatica

Se un dipolo è sottoposto a forze in un campo elettrico esterno qualunque, l'energia potenziale elettrostatica del dipolo è data dalla differenza di potenziale tra le due cariche, supposte come al solito molto vicine:

$U_E = q \left[V(x+dx,y+dy,z+dz) - V(x,y,z) \right] = q \left[ V(x,y,z) + \mathbf \nabla V \cdot \mathbf{\mbox{d}\delta} - V(x,y,z) \right] = q\mathbf{\mbox{d}\delta} \cdot \mathbf \nabla V(x,y,z)=-\mathbf p_E \cdot \mathbf E(x,y,z)$

dove $\mathbf{\mbox{d}\delta} = (dx,dy,dz)$ e $\mathbf p=q \mathbf{\mbox {d} \delta}$ è il momento elettrico del dipolo. Esplicitando il prodotto scalare:

$U_E=-pE \cos \theta \,\!$

con θ che rappresenta l'angolo compreso tra i due vettori.

Forze agenti su un dipolo elettrico immerso in un campo elettrico esterno

Dinamica

Il lavoro della coppia elettrica vale:

$\mbox {d}L_E=\mathbf F_E \cdot \mbox {d} \mathbf s + \mathbf M_E \cdot \mathbf{\mbox {d} \boldsymbol \theta}$

D'altro canto, differenziando l'energia del dipolo:

$\mbox {d}U_E= \frac{\partial U_E}{\partial \mathbf s} \cdot \mathbf{\mbox {d}s}+\frac{\partial U_E}{\partial \theta}\mbox {d} \theta =\mathbf \nabla U_E \cdot \mathbf{\mbox {d}s}+\frac{\partial U_E}{\partial \theta}\mbox {d} \theta$

dove si è fatto uso della derivata direzionale poiché per definizione l'energia potenziale appartiene alla prima classe di continuità. A questo punto si possono confrontare le due espressioni precedenti in particolare per il campo elettrico e, tenendo presente che il gradiente agisce solo sulle coordinate x,y,z e la dipendenza da θ è contenuta solo nel prodotto scalare:

$\mathbf F_E=- \mathbf \nabla U_E= \nabla (\mathbf p_E \cdot \mathbf E)$

$\mathbf M_E= \mathbf p_E \times \mathbf E$

Siano, ora, due dipoli μ₁ e μ₂ che formano con la loro congiungente un angolo rispettivamente di θ₁ e θ₂. L'energia potenziale elettrica sarà

$U = \frac {\mu_1 \mu_2}{r^3} \left ( 2 cos \theta_1 \cdot cos \theta_2 - sin \theta_1 \cdot sin \theta_2 \cdot cos \varphi \right )$

dove φ è l'azimut di μ₂ rispetto al piano μ₁-r.

Molecole

Per approfondire, vedi la voce Dipolo molecolare.

In chimica il momento elettrico di una molecola si riferisce alla somma vettoriale di tutti i momenti di legame presenti nella molecola stessa. Una molecola non polare possiede momento elettrico uguale a zero: questo è il caso, ad esempio, del metano o del biossido di carbonio le cui strutture geometriche (rispettivamente tetraedrica e lineare) annullano l'effetto dei singoli momenti dipolari di legame (il risultante è nullo). Legami omogenei, come quelli tra due atomi di cloro per formare una molecola Cl₂, non sono polari, essendo la differenza di elettronegatività nulla, e quindi non originano un momento elettrico. Comunemente si orienta il vettore momento elettrico delle entità chimiche con il verso rivolto verso la carica negativa, che corrisponde all'elemento più elettronegativo.

Bibliografia

• Corrado Mencuccini; Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010. ISBN 978-88-207-1633-2

Voci correlate

• Radiazione di dipolo elettrico
• Dipolo molecolare
• Sviluppo in multipoli
• Quadrupolo elettrico
• Monopolo elettrico
• Dipolo magnetico

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