Momento angolare totale

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Il momento angolare totale in meccanica quantistica genera le rotazioni nello spazio. Esso ha un significato più esteso rispetto al momento angolare orbitale \hat {\mathbf{L}} = \hat {\mathbf{r}} \times \hat {\mathbf{V}} perché si generalizza anche al momento angolare di spin e soprattutto è usato nella composizione di momenti angolari, essendo valido come somma di più momenti angolari e di diversi tipi.

Si può dimostrare che il momento angolare totale \hat{ \mathbf{J}} è il generatore delle rotazioni nello spazio, ma questo argomento è proposto per il momento angolare orbitale a cui si rimanda.

Formalmente, poi, il momento angolare totale ha le stesse regole del momento angolare orbitale e dello spin, per cui con \hat {\mathbf{J}} possiamo indicare sia \hat{ \mathbf{L}}, sia \hat {\mathbf{S}} e anche una composizione di momenti \hat {\mathbf{J}} = \hat {\mathbf{L}} + \hat {\mathbf{S}} oppure \hat {\mathbf{J}} = \hat {\mathbf{L}_1} + \hat {\mathbf{L}_2} o ancora \hat {\mathbf{J}} = \hat {\mathbf{S}_1} + \hat{ \mathbf{S}_2}.

Le proprietà del momento angolare totale[modifica | modifica sorgente]

Il momento angolare totale, analogamente al momento angolare orbitale, genera le rotazioni lungo un asse: la funzione d'onda \psi (x) ruotata di un angolo \phi attorno all'asse z, diventa:

\psi' (x) = \hat R_z(\phi) \psi (x) = e^{i \phi J_z} \psi (x)

Per una rotazione infinitesima:

\psi' (x) = \psi (x) + i d\phi J_z \psi (x) \

Proprietà di commutazione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Commutatore.

Vediamo le proprietà di commutazione analogamente a quanto fatto per l'operatore momento angolare orbitale:

[\hat J_x, \hat J_y] = i \hbar \hat J_z
[\hat J_y, \hat J_z] = i \hbar \hat J_x
[\hat J_z, \hat J_x] = i \hbar \hat J_y

dove \hat J_x, \hat J_y, \hat J_z sono ovviamente le proiezioni del momento angolare totale lungo gli assi cartesiani, in forma compatta:

[\hat J_i, \hat J_j] = i \hbar \varepsilon_{ijk} \hat J_k

dove abbiamo usato il tensore di Levi-Civita. Costruiamo l'operatore \hat {\mathbf{J}}^2, cioè l'operatore:

\hat {\mathbf{J}}^2 = \hat J_{x}^{2} + \hat J_{y}^{2} + \hat J_{z}^{2}

Vediamo come commuta con le componenti del momento angolare totale:

[\hat J_z, \hat {\mathbf{J}}^2] = [\hat J_z, \hat J_{x}^{2} + \hat J_{y}^{2} + \hat J_{z}^{2}] = [\hat J_z, \hat J_{x}^{2}] + [\hat J_z, \hat J_{y}^{2}] + [\hat J_z, \hat J_{z}^{2}] =
\, \, \, \, \,  = \hat J_x [\hat J_z, \hat J_x] + [\hat J_z , \hat J_x] \hat J_x + \hat J_y [\hat J_z, \hat J_y] + [\hat J_z, \hat J_y] \hat J_y = i \hbar \hat J_x \hat J_y + i \hbar \hat J_y \hat J_x - i \hbar \hat J_y \hat J_x - i \hbar \hat J_x \hat J_y = 0

e analogamente:

[\hat J_x,\hat {\mathbf{J}}^2] = 0
[\hat J_y,\hat {\mathbf{J}}^2] = 0

cioè le componenti del momento angolare commutano con l'operatore \hat {\mathbf{J}}^2.

Vediamo come si comportano i momenti angolari con gli operatori di posizione e impulso trascurando i calcoli espliciti che sono simili a quelli del momento angolare orbitale:

[\hat J_x, \hat x] = 0
[\hat J_x, \hat y] = i \hbar \hat z
[\hat J_x, \hat z] = -i \hbar \hat y

Allo stesso modo \hat J_y ed \hat J_z, in generale si ha che la componente del momento angolare su un asse commuta soltanto con la coordinata di quell'asse, in forma compatta:

[\hat J_i, \hat x_j] = i \hbar \varepsilon_{ijk} \hat x_k

dove \hat x_j = (\hat x, \hat y, \hat z) e \varepsilon_{ijk} è il tensore di Levi-Civita, che è uguale a +1 per permutazioni pari degli indici, -1 per permutazioni dispari e 0 se i=j.

Per quanto riguarda le commutazioni con gli impulsi vale esattamente la stessa cosa:

[\hat J_i, \hat p_j] = i \hbar \varepsilon_{ijk} \hat p_k

Spettro del momento angolare totale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Spettro (matematica).

Abbiamo visto che le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tutti singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. Possiamo scegliere una sola componente (per esempio \hat J_z) che commuta con \hat {\mathbf{J}}^2, così lo stato che è autostato di entrambi gli operatori lo chiamiamo |j,j_z \rangle. Dobbiamo trovare quali sono gli autovalori a, b (a volte più propriamente indicati con j, j_z, oppure con j, m_j) simultanei di questi operatori:

\left\{\begin{matrix} \hat{ \mathbf{J}}^2 |j,m_j \rangle = a |j,m_j \rangle \\
\hat J_z |j,m_j \rangle = b |j,m_j \rangle 
\end{matrix}\right.

Per fare questo introduciamo due operatori, detti operatori di scala:

\hat J_{\pm} = \hat J_x \pm i \hat J_y

che sono uno il complesso coniugato dell'altro e non sono hermitiani. Questi operatori hanno le proprietà:

[\hat J_+ , \hat J_-] = 2 \hbar \hat J_z
[\hat J_z, \hat J_{\pm}] = \pm \hbar \hat J_{\pm}
[\hat{ \mathbf{J}}^2, \hat J_{\pm}] = 0

L'operatore \hat {\mathbf{J}}^2 può essere espresso in termini di \hat J_z e operatori di scala \hat J_{\pm}, infatti:

\hat J_- \hat J_+ = \hat J_{+}^{\dagger} \hat J_+ = \hat {\mathbf{J}}^{2} - \hat J_z (\hat J_{z} + \hbar)
\hat J_+ \hat J_- = \hat J_{-}^{\dagger} \hat J_- = \hat {\mathbf{J}}^{2} - \hat J_z (\hat J_{z} - \hbar)

dunque:

\hat {\mathbf{J}}^2 = \hat J_+ \hat J_- + \hat J_{z}^{2} - \hat J_z \hbar = \hat J_- \hat J_+ + \hat J_{z}^{2} + \hat J_z \hbar

Il significato di \hat J_{\pm} è analogo a quello visto nel momento angolare orbitale. Vediamo come \hat J_z agisce sullo stato \hat J_{\pm}|j,m_j \rangle:

\hat J_z \left( \hat J_{\pm} |j,m_j \rangle \right) = \left([\hat J_z, \hat J_{\pm}] + \hat J_{\pm} \hat J_z \right) |j,m_j \rangle = (\hat J_+ \hat J_z + \hbar \hat J_+ ) |j , m_j \rangle = (b \pm \hbar) \left(\hat J_{\pm} |j,m_j \rangle \right)

cioè applicando \hat J_+ l'autovalore di \hat J_z cioè b aumenta di \hbar, viceversa applicando \hat J_-, l'autovalore di \hat J_z viene diminuito di \hbar, da cui il nome di operatori di scala. Invece applicando \hat {\mathbf{J}}^2:

\hat{ \mathbf{J}}^2 \left( \hat J_{\pm} |j,m_j \rangle \right) = \hat J_{\pm} \hat{ \mathbf{J}}^2 |j,m_j \rangle = a \hat J_{\pm}|j,m_j \rangle

cioè l'applicazione degli operatori \hat J_{\pm} cambia l'autovalore di \hat J_z, ma non di \hat {\mathbf{J}}^2.

Per ovvi motivi di proiezione, la relazione che lega \hat{ \mathbf{J}}^2 e \hat J_z è:

\langle j, m_j | \left( \hat{ \mathbf{J}}^2 - \hat J_{z}^{2} \right) |j,m_j \rangle = \left \langle \hat {\mathbf{J}}^2 - \hat J_{z}^{2} \right \rangle \ge 0

ciò implica che gli autovalori di questi operatori devono soddisfare:

-a \le b \le a

cioè gli autovalori della proiezione del momento angolare totale b non possono superare quelli di \hat{ \mathbf{J}}^2, a: fisicamente ciò significa che b assume il suo valore massimo quando \hat {\mathbf{J}}^2 coincide con la direzione dell'asse z, cioè la sua proiezione \hat J_z coincide con \hat {\mathbf{J}}^2, in tal caso a = b. Quindi l'autovalore di \hat J_z è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere \hat {\mathbf{J}}^2. Chiamiamo b_{min} il valore minimo e b_{max} il valore massimo che può assumere \hat J_z. Applicando successivamente gli operatori di scala \hat J_+, \hat J_-, si capisce che deve essere:

\hat J_+ |a,b_{max} \rangle = 0
\hat J_- |a,b_{min} \rangle = 0

Ora applichiamo

\hat {\mathbf{J}}^2 |a,b_{max} \rangle = (\hat J_- \hat J_+ + \hat J_{z}^{2} + \hat J_z) |a, b_{max} \rangle = b_{max}^{2} \hbar + b_{max} \hbar|a,b_{max} \rangle

cioè:

a = (b_{max}^{2} + b_{max}) \hbar^2 = \hbar^2 b_{max} (b_{max} + 1)

Quindi l'autovalore di \hat {\mathbf{J}}^2 è \hbar^2 a(a + 1), dove a deve essere intero o semintero. Ora per quanto detto:

-a \le b \le a

e anche qui b deve essere intero o semintero, perché tutti i valori di b sono distanti \hbar uno dall'altro (ricordiamo che le grandezze quantistiche si misurano in unità di \hbar), dove se k è intero, fissato a, vi sono (2k+1) valori di b, cioè b = \{-a, -a+1, \dots , a - 1, a \} per cui se a è intero lo è anche b e se a è semintero, lo è anche b. Si può dimostrare che gli autovalori a sono interi e quindi anche b sono interi: con questa scelta otteniamo infine per gli autovalori di \hat {\mathbf{J}}^2

\hat {\mathbf{J}}^2 |j,m_j \rangle = \hbar^2 j(j+1) |j,m_j \rangle

e per gli autovalori di \hat J_z

\hat J_z |j,m_j \rangle = m_j \hbar |j,m_j \rangle

dove j = 0, 1, \dots è il numero quantico del momento angolare totale ed m_j = \{-j, -j+1, \dots , j - 1, j \} è il numero quantico della proiezione del momento angolare totale.

Elementi di matrice[modifica | modifica sorgente]

Vediamo come sono fatti esplicitamente le matrici dei momenti angolari. Assumiamo che i momenti angolari siano calcolati sugli autostati |j,j_m \rangle già normalizzati, allora in questa base di autostati sia \hat {\mathbf{J}}^2 sia \hat J_z sono diagonali:

\langle j', m'_j | \hat {\mathbf{J}}^2 |j, m_j \rangle = j (j+1) \hbar^2 \delta_{j'j} \delta_{m'_j m_j}
\langle j', m'_j | \hat J_z |j, m_j \rangle = m_j \hbar \delta_{j'j} \delta_{m'_j m_j}

Gli elementi di matrice degli operatori a scala sono dati da:

\hat J_+ |j,m_j \rangle = c_+ |j, m_j+1 \rangle

dove c_+ è un coefficiente. Utilizzando l'espressione:

\hat {\mathbf{J}}^2 = \hat J_- \hat J_+ + \hat J_{z}^{2} + \hat J_z

ricaviamo l'espressione di \hat J_+ e di \hat J_- e calcoliamo:

\hat J_{+}^{\dagger} \hat J_+ = \hat {\mathbf{J}}^2 - \hat J_{z}^{2} - \hbar \hat J_z
\hat J_{-}^{\dagger} \hat J_- = \hat {\mathbf{J}}^2 - \hat J_{z}^{2} + \hbar \hat J_z

e quindi per \hat J_+:

|c_+|^2 = \langle \hat J_{+}^{\dagger} \hat J_{+} \rangle = \hbar^2 [j (j+1) - m_{j}^{2} - m_j]

In definitiva:

\hat J_+ |j, m_j \rangle = \hbar \sqrt{(j - m_j) (j + m_j + 1)} |j, m_j + 1 \rangle
\hat J_- |j, m_j \rangle = \hbar \sqrt{(j + m_j) (j - m_j + 1)} |j, m_j - 1 \rangle

gli elementi di matrice sono:

\langle j', m'_j |\hat J_{\pm} |j, m_j \rangle = \sqrt{(j \mp m_j) (j \pm m_j+1)} \hbar \delta_{j'j} \delta_{m'_j m_j}

Per esempio per j=1 possiamo esplicitare:

\hat J_+ = \hbar \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\hat J_- = \hbar \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}
\hat J_z = \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

che come si vede \hat L_z è diagonale ovviamente nella base |j, m_j \rangle, mentre:

\hat J_x = \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
\hat J_y = \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}

non lo sono.

Per j = \frac{1}{2} le matrici prendono la forma delle matrici di Pauli a due componenti:

\hat J_x = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\hat J_y = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}
\hat J_z = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Per j = \frac{3}{2} le matrici prendono la forma:

\hat J_x = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{3} & 0 & 0 \\ \sqrt{3} & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & \sqrt{3} \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 \end{pmatrix}
\hat J_y = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \sqrt{3} & 0 & 0 \\ i \sqrt{3} & 0 & -2i & 0 \\ 0 & 2i & 0 & -i\sqrt{3} \\ 0 & 0 & i \sqrt{3} & 0 \end{pmatrix}
\hat J_z = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • J.J Sakurai - Meccanica quantistica moderna
  • L.D. Landau, E.M. Lifŝits - Meccanica quantistica, teoria non relativistica

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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