Momento angolare orbitale

Il momento angolare orbitale in meccanica quantistica è l'analogo classico del momento della quantità di moto in meccanica classica. Esso è il generatore delle rotazioni nello spazio.

Definizione

Il momento angolare è il momento della quantità di moto. Esso è pertanto definito come:

$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$

dove $\times$ è il prodotto vettoriale. Classicamente ha componenti cartesiane:

$\left\{\begin{matrix} L_x = y p_z - z p_y \\ L_y = z p_x - x p_z \\ L_z = x p_y - y p_x \end{matrix}\right.$

In meccanica quantistica il momento angolare è rappresentato dall'operatore dato da:

$L_x = -i\hbar \left(y {\partial\over \partial z} - z {\partial\over \partial y}\right)$

$L_y = -i\hbar \left(z {\partial\over \partial x} - x {\partial\over \partial z}\right)$

$L_z = -i\hbar \left(x {\partial\over \partial y} - y {\partial\over \partial x}\right)$

ovvero la riscrittura delle componenti cartesiane classiche mediante l'operatore impulso:

$\mathbf{p}=-i\hbar\nabla$

scritto nella base delle coordinate.

Le rotazioni

In meccanica classica una rotazione di un angolo $\alpha$, intorno ad un asse (per esempio z) è descritta da una matrice ortogonale:

$R_z(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

analogamente per gli altri assi. In generale una rotazione nello spazio è descritta dalla composizione di tre singole rotazioni sugli assi:

$R_{xyz}(\alpha, \beta, \gamma) = \begin{pmatrix} \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \gamma & \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \gamma & -\sin \beta \cos \gamma \\ -\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma & -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma + \cos \alpha \cos \gamma & \sin \beta \sin \gamma \\ \cos \alpha \sin \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \beta \end{pmatrix}$

La matrice $R_{xyz}(\alpha, \beta, \gamma)$ è una matrice reale e ortogonale speciale, cioè

$R = R^* \quad ; \quad R^T = R^{-1} \quad ; \quad det R = 1$.

Le rotazioni infinitesime

Consideriamo rotazioni infinitesime di un angolo $\epsilon$ su ognuno dei tre assi:

$R_z(\epsilon) = \begin{pmatrix} 1-\frac{\epsilon^2}{2} & -\epsilon & 0 \\ \epsilon & 1-\frac{\epsilon^2}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$R_x(\epsilon) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1-\frac{\epsilon^2}{2} & -\epsilon \\ 0 & \epsilon & 1-\frac{\epsilon^2}{2} \end{pmatrix}$

$R_y(\epsilon) = \begin{pmatrix} 1-\frac{\epsilon^2}{2} & 0 & -\epsilon \\ 0 & 1 & 0 \\ \epsilon & 0 & 1-\frac{\epsilon^2}{2} \end{pmatrix}$

per angoli infinitesimi cioè abbiamo sviluppato in serie di potenze. Ora componiamo le rotazioni x,y:

$R_x(\epsilon) \cdot R_y(\epsilon) = \begin{pmatrix} 1-\frac{\epsilon^2}{2} & 0 & -\epsilon \\ -\epsilon^2 & 1-\frac{\epsilon^2}{2} & -\epsilon \\ \epsilon & \epsilon & 1-\epsilon^2 \end{pmatrix}$

e

$R_y(\epsilon) \cdot R_x (\epsilon) = \begin{pmatrix} 1-\frac{\epsilon^2}{2} & -\epsilon^2 & -\epsilon \\ 0 & 1-\frac{\epsilon^2}{2} & -\epsilon \\ \epsilon & \epsilon & 1-\epsilon^2 \end{pmatrix}$

Vediamo il commutatore di queste due quantità:

$R_y(\epsilon) \cdot R_x(\epsilon) - R_x(\epsilon) \cdot R_y (\epsilon) = \begin{pmatrix} 0 & -\epsilon^2 & 0 \\ \epsilon^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = R_z(\epsilon^2) - \hat I$

Ebbene le componenti dei momenti angolari su assi diversi non commutano.

Il momento angolare come generatore delle rotazioni nello spazio

Se $\hat R_z(\alpha)$ è l'operatore di rotazione intorno all'asse z e lo applichiamo ad una funzione d'onda $\psi(x,y,z)$ otteniamo:

$\hat R_z(\alpha) \psi(x,y,z) = \psi(x \cos \alpha+y \sin \alpha, -x \sin \alpha + y \cos \alpha, z)$

Se invece consideriamo una rotazione infinitesima per esempio lungo l'asse z:

$\hat R_z(\epsilon) \psi(x,y,z) \simeq \psi(x + \epsilon y, - \epsilon x + y, z) \simeq \psi(x,y,z) + \epsilon \left(y \frac{\partial \psi}{\partial x} - x \frac{\partial \psi}{\partial y} \right)$

in definitiva:

$\hat R_z(\epsilon) \psi(x,y,z) \simeq \left(\hat I - \frac{i}{\hbar} \epsilon \hat L_z \right) \psi(x,y,z)$

Allora l'operatore di rotazione infinitesima è proprio il fattore tra parentesi che come si vede contiene la componente lungo l'asse z del momento angolare, per cui l'operatore $\hat L_z$ è il generatore della rotazione intorno all'asse z. Poiché una rotazione finita può essere ottenuta come somma di N rotazioni infinitesime: $d\alpha = \frac{\alpha}{N}$, allora:

$\psi(\mathbf{r} + d \mathbf{r}) = \left(\hat I + \frac{i}{\hbar} \frac{\alpha}{N} \hat {\mathbf{L}} \right)^N \psi(\mathbf{r})$

dove abbiamo usato la notazione tridimensionale. Facciamo il limite $N \to \infty$ di questa espressione:

$\psi(\mathbf{r}') = e^{\frac{i}{\hbar} \alpha \hat {\mathbf{L}}} \psi(\mathbf{r})$

A conferma di ciò, il teorema di Noether per la lagrangiana afferma che per ogni simmetria della lagrangiana, in questo caso l'invarianza per rotazione rispetto ad un asse, per esempio l'asse j, vi è una quantità conservata pari a

$Q^j = \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial \dot{q^i}} \delta q^j$

Tale quantità conservata genera la trasformazione responsabile della simmetria. Nel caso di una rotazione, la trasformazione è

$\mathbf{x} \longrightarrow \mathbf{x'}=\mathbf{x} + \delta \mathbf{x}$

e si ha che

$\delta \mathbf{x^j} =$ ${-\epsilon x^k} \choose \epsilon x^i$$= \delta q$

perciò:

$Q^j = \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial \dot{x^i}} \delta x^j = \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial \dot{x^i}} =$ ${-\epsilon x^k} \choose \epsilon x^i$$= -p^i\epsilon x^k + p^k\epsilon x^i = \epsilon(x^i p^k - x^k p^i) = \epsilon L^j \$

Le proprietà del momento angolare

In base alle proprietà delle rotazioni nello spazio, l'operatore di rotazione:

$e^{\frac{i}{\hbar} \hat {\mathbf{L}} \alpha}$

deve avere la proprietà di riprodurre la stessa rotazione per rotazioni identitarie, cioè $\alpha \to 0$:

$\lim_{\alpha \to 0} e^{\frac{i}{\hbar} \hat {\mathbf{L}} \alpha} = \hat I$

inoltre le rotazioni successive si devono poter comporre:

$e^{\frac{i}{\hbar} \hat {\mathbf{L}} \alpha_1} e^{\frac{i}{\hbar} \hat {\mathbf{L}} \alpha_2} = e^{\frac{i}{\hbar} \hat {\mathbf{L}} (\alpha_1 + \alpha_2)}$

Inoltre applicando una rotazione diretta e una inversa dello stesso angolo si deve ritornare allo stato iniziale:

$e^{\frac{i}{\hbar} \hat {\mathbf{L}} \alpha_1}e^{\frac{i}{\hbar} \hat {\mathbf{L}} (-\alpha_1)} = \hat I$

Proprietà di commutazione

Per approfondire, vedi la voce Commutatore.

Il commutatore tra due componenti del momento angolare è il seguente:

$[\hat L_x, \hat L_y] = [\hat y \hat p_z - \hat z \hat p_y, \hat z \hat p_x - \hat x \hat p_z] = [\hat y \hat p_z, \hat z \hat p_x] + \hat z [\hat p_y , \hat p_x] + [\hat y, \hat x]\hat p_z + [\hat z \hat p_y, \hat x \hat p_z] =$

$= \hat y [\hat p_z, \hat z \hat p_x] + [\hat y, \hat z \hat p_x] \hat p_z + \hat z [\hat p_y, \hat x \hat p_z] + [\hat z, \hat x \hat p_z] \hat p_y =$

$= \hat y \hat z [\hat p_z, \hat p_x] + \hat y [\hat p_z, \hat z] \hat p_x + \hat z [\hat y, \hat p_x] \hat p_z + [\hat y, \hat z] \hat p_x \hat p_z + \hat z \hat x [\hat p_y, \hat p_z] + \hat z [\hat p_y, \hat x] \hat p_z + \hat x [\hat z, \hat p_z]\hat p_y + [\hat z, \hat x] \hat p_z \hat p_y =$

$= \hat y [\hat p_z, \hat z] \hat p_x + \hat x [\hat z, \hat p_z] \hat p_y = i \hbar (\hat x \hat p_y - \hat y \hat p_x)= i \hbar L_z$

dove i commutatori fra le componenti di $\hat r$ e $\hat p$ risultano tutti nulli, eccetto nel caso $[\hat j, \hat p_j]= i \hbar$ con $j=x,y,z$.

Per analogia si trovano gli altri, ricapitolando:

$[\hat L_x, \hat L_y] = i \hbar \hat L_z$

$[\hat L_y, \hat L_z] = i \hbar \hat L_x$

$[\hat L_z, \hat L_x] = i \hbar \hat L_y$

Costruiamo l'operatore $\hat {\mathbf{L}}^2$, cioè l'operatore:

$\hat {\mathbf{L}}^2 = (\hat {\mathbf{r}}\times \hat {\mathbf{p}})^2 = [(\hat {\mathbf{r}} \times \hat {\mathbf{p}})_x]^2 + [(\hat{\mathbf{r}} \times \hat {\mathbf{p}})_y]^2 + [(\hat {\mathbf{r}} \times \hat {\mathbf{p}})_z]^2 = \hat L_{x}^{2} + \hat L_{y}^{2} + \hat L_{z}^{2}$

Vediamo come commuta con le componenti del momento angolare:

$[\hat L_z, \hat {\mathbf{L}}^2] = [\hat L_z, \hat L_{x}^{2} + \hat L_{y}^{2} + \hat L_{z}^{2}] = [\hat L_z, \hat L_{x}^{2}] + [\hat L_z, \hat L_{y}^{2}] + [\hat L_z, \hat L_{z}^{2}] =$

$\, \, \, \, \, = \hat L_x [\hat L_z, \hat L_x] + [\hat L_z , \hat L_x] \hat L_x + \hat L_y [\hat L_z, \hat L_y] + [\hat L_z, \hat L_y] \hat L_y = i \hbar \hat L_x \hat L_y + i \hbar \hat L_y \hat L_x - i \hbar \hat L_y \hat L_x - i \hbar \hat L_x \hat L_y = 0$

e analogamente:

$[\hat L_x,\hat {\mathbf{L}}^2] = 0$

$[\hat L_y,\hat {\mathbf{L}}^2] = 0$

cioè le componenti del momento angolare commutano con l'operatore $\hat {\mathbf{L}}^2$.

Vediamo come si comportano i momenti angolari con gli operatori di posizione e impulso.

$[\hat L_x, \hat x] = [\hat y \hat p_z - \hat z \hat p_y, \hat x] = [\hat y \hat p_z, \hat x] - [\hat z \hat p_y ,\hat x] = \hat y [\hat p_z, \hat x] - [\hat z, \hat x] \hat p_y - \hat z [\hat p_y, \hat x] + [\hat z , \hat x] \hat p_y = 0$

$[\hat L_x, \hat y] = [\hat y \hat p_z - \hat z \hat p_y, \hat y] = [\hat y \hat p_z, \hat y] - [\hat z \hat p_y , \hat y] = \hat y [\hat p_z, \hat y] - [\hat z, \hat y] \hat p_y - \hat z [\hat p_y, \hat y] + [\hat z , \hat y] \hat p_y = - \hat z [\hat p_y, \hat y] = i \hbar \hat z$

$[\hat L_x, \hat z] = [\hat y \hat p_z - \hat z \hat p_y, \hat z] = [\hat y \hat p_z, \hat z] - [\hat z \hat p_y , \hat z] = \hat y [\hat p_z, \hat z] - [\hat z, \hat z] \hat p_y - \hat z [\hat p_y, \hat z] + [\hat z, \hat z] \hat p_y = - \hat y [\hat p_z, \hat z] = -i \hbar \hat y$

Allo stesso modo $\hat L_y$ ed $\hat L_z$, in generale si ha che la componente del momento angolare su un asse commuta soltanto con la coordinata di quell'asse, in forma compatta:

$[\hat L_i, \hat x_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} \hat x_k$

dove $\hat x_j = (\hat x, \hat y, \hat z)$ e $\epsilon_{ijk}$ è il tensore di Levi-Civita, che è uguale a +1 per permutazioni pari degli indici, -1 per permutazioni dispari e 0 se i=j.

Per quanto riguarda le commutazioni con i momenti vale esattamente la stessa cosa:

$[\hat L_i, \hat p_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} \hat p_k$

Spettro del momento angolare

Per approfondire, vedi la voce Spettro (matematica).

Abbiamo visto che le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tutti singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. Possiamo scegliere una sola componente (per semplicità $\hat L_z$). Le equazioni agli autovalori sono:

$\hat {\mathbf{L}}^2|l\rangle = a|l\rangle$

$\hat L_z|m\rangle = b|m\rangle$

dal momento che $\hat {\mathbf{L}}^2$ commuta con $\hat L_z$, essi hanno una base comune di autostati, e pertanto gli autostati $|l\rangle$ e $|m\rangle$ coincidono, e vengono indicati con $|l,m \rangle$.
Dobbiamo trovare quali sono gli autovalori a, b (a volte più propriamente indicati con $l$, $l_z$, oppure con $l$, $m$) simultanei di questi operatori:

$\left\{\begin{matrix} \hat {\mathbf{L}}^2 |l,m \rangle = a |l,m \rangle \\ \hat L_z |l,m \rangle = b |l,m \rangle \end{matrix}\right.$

Per fare questo introduciamo due operatori, detti operatori di scala:

$\hat L_{\pm} = \hat L_x \pm i \hat L_y$

che sono uno il complesso coniugato dell'altro e non sono hermitiani. Questi operatori hanno le proprietà:

$[\hat L_+ , \hat L_-] = 2 \hbar \hat L_z$

$[\hat L_z, \hat L_{\pm}] = \pm \hbar \hat L_{\pm}$

$[\hat {\mathbf{L}}^2,\hat L_{\pm}] = 0$

L'operatore $\hat {\mathbf{L}}^2$ può essere espresso in termini di $\hat L_z$ e operatori di scala:

$\hat {\mathbf{L}}^2 = \hat L_+ \hat L_- + \hat L_{z}^{2} - \hbar \hat L_z = \hat L_- \hat L_+ + \hat L_{z}^{2} + \hbar \hat L_z$

Per vedere quale sia il significato di $\hat L_{\pm}$, vediamo come $\hat L_z$ agisce sullo stato $\hat L_{\pm}|l,l_z\rangle$:

$\hat L_z \left(\hat L_{\pm} |l,m \rangle \right) = \left([\hat L_z, \hat L_{\pm}] + \hat L_{\pm} \hat L_z \right) |l,m \rangle = (b \pm \hbar) \left(\hat L_{\pm}|l,m \rangle \right)$

cioè applicando $\hat L_+$, l'autovalore di $\hat L_z$ aumenta di $\hbar$, viceversa applicando $\hat L_-$, l'autovalore di $\hat L_z$ viene diminuito di $\hbar$, da cui il nome di operatori di scala. Invece:

$\hat {\mathbf{L}}^2 \left(\hat L_{\pm} |l,m \rangle \right) = \hat L_{\pm} \hat {\mathbf{L}}^2 |l,m \rangle = a \hat L_{\pm}|l,m \rangle$

cioè l'applicazione degli operatori $\hat L_{\pm}$ cambiano gli autovalori di $\hat L_z$, ma non di $\hat {\mathbf{L}}^2$.

Per ovvi motivi di proiezione, la relazione che lega $\hat {\mathbf{L}}^2$ ed $\hat L_z$ è:

$\langle l, m | (\hat {\mathbf{L}}^2 - \hat L_{z}^{2} ) |l,m \rangle = \langle \hat {\mathbf{L}}^2 - \hat L_{z}^{2} \rangle \ge 0$

ciò implica che gli autovalori di questi operatori devono soddisfare:

$-a \le b \le a$

cioè gli autovalori di della proiezione del momento angolare non possono superare quelli di $\hat {\mathbf{L}}^2$: fisicamente ciò significa che b assume il suo valore massimo quando $\hat {\mathbf{L}}^2$ coincide con la direzione dell'asse z, così la sua proiezione $\hat L_z$ coincide con $\hat {\mathbf{L}}^2$, in tal caso $a = b$. Quindi l'autovalore di $\hat L_z$ è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere $\hat {\mathbf{L}}^2$. Chiamiamo $b_{min}$ il valore minimo e $b_{max}$ il valore massimo che può assumere $\hat L_z$. Applicando successivamente gli operatori di scala $\hat L_+ , \hat L_-$, si capisce che deve essere:

$\hat L_+ |a,b_{max} \rangle = 0$

$\hat L_- |a,b_{min} \rangle = 0$

Ora applichiamo

$\hat {\mathbf{L}}^2 |a,b_{max} \rangle = (\hat L_- \hat L_+ + \hat L_{z}^{2} + \hbar \hat L_z) |a, b_{max} \rangle = (b_{max}^{2} \hbar^2 + b_{max} \hbar^2)|a,b_{max} \rangle$

cioè:

$a = (b_{max}^{2} + b_{max}) \hbar^2 = \hbar^2 b_{max} (b_{max} + 1)$

Quindi l'autovalore di $\hat{\mathbf{L}}^2$ è $\hbar^2 a(a+1)$, dove a deve essere intero o semintero. Ora per quanto detto:

$-a \le b \le a$

e anche qui b deve essere intero o semintero, perché tutti i valori di b sono distanti $\hbar$ uno dall'altro (ricordiamo che le grandezze quantistiche si misurano in unità di $\hbar$), dove se k è un intero, fissato a, vi sono (2k+1) valori di b, cioè $b = \{-a, -a+1, \dots , a \}$ per cui se a è intero lo è anche b e se a è semintero, lo è anche b. Si può dimostrare che gli autovalori a sono interi e quindi anche b sono interi: con questa scelta otteniamo infine le equazioni agli autovalori di $\hat {\mathbf{L}}^2$ e $\hat L_z$:

$\hat {\mathbf{L}}^2 |l,m \rangle = \hbar^2 l(l+1) |l,m \rangle$

$\hat L_z |l,m \rangle = m \hbar |l,m \rangle$

dove $l = 0, 1, \dots$ è il numero quantico azimutale ed $m = \{-l, -l+1, \dots , l\}$ è il numero quantico magnetico.

Autofunzioni del momento angolare

Per approfondire, vedi le voci Autofunzioni del momento angolare e armoniche sferiche.

Il momento angolare si introduce quando si affrontano problemi a simmetria sferica mediante l'uso delle coordinate sferiche. La sua rappresentazione spaziale è:

$L^2 = -\frac{\hbar^2}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) - \frac{\hbar^2}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}$

Le armoniche sferiche sono autofunzioni simultanee degli operatori momento angolare totale $L^2$ e della sua componente lungo $z$, le cui equazioni agli autovalori sono:

$L^2 | l, m \rang = {\hbar}^2 l(l+1) | l, m \rang$

$L_z | l, m \rang = \hbar m | l, m \rang$

le armoniche sferiche sono pertanto

$\lang \theta , \phi | l, m \rang = Y_{l,m}(\theta,\phi)$

Bibliografia

• J. Sakurai, Meccanica quantistica moderna, Bologna, Nicola Zanichelli Editore, 1996. ISBN 88-08-12706-0.

• L. Landau, E. Lifšic, Meccanica quantistica, teoria non relativistica, Roma, Editori Riuniti, 2004. ISBN 88-359-5606-4.

Voci correlate

• Numero quantico azimutale
• Numero quantico
• Spin
• Autofunzioni del momento angolare
• Momento angolare totale
• Composizione di momenti angolari
• Coefficienti di Clebsch-Gordan

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