Momento (fisica)

In fisica, a causa della natura vettoriale di molte grandezze osservabili, è utile fare uso della nozione matematica di momento di un vettore per ottenere nuove quantità fisiche, le quali dipendono dalla posizione relativa dei vettori presi in considerazione e possono presentare notevoli proprietà di conservazione. Essendo grandezze vettoriali, queste quantità non dipendono dalla scelta del sistema di riferimento (sono cioè invarianti rispetto a cambiamento di base).

Definizione

Dato un vettore $\mathbf a$ applicato nel punto $\mathbf p$, e dato un punto $\mathbf o$ detto polo, si definisce momento di $\mathbf a$ rispetto a $\mathbf o$ il vettore

$\mathbf M_o = \mathbf r \times \mathbf a$,

dove $\mathbf r = \mathbf p - \mathbf o$ è il vettore che unisce il polo e il punto di applicazione del vettore $\mathbf a$. Il modulo del momento è dato, per definizione di prodotto vettoriale, da:

$M_o = r a \sin\vartheta$,

dove $\vartheta$ è l'angolo formato dai due vettori, definito da

$\cos\vartheta = \frac{\mathbf r \cdot \mathbf a}{r a}$.

La sua direzione è quella ortogonale al piano formato dai due vettori $\mathbf r$ e $\mathbf a$, e il suo verso è determinato dalla regola della mano destra (convenzione sinistrorsa).

Segue dalle proprietà del prodotto vettoriale che, indicando con $\mathbf h$ il vettore

$\mathbf h = \mathbf r_{\perp} = \mathbf r - \frac{\mathbf r \cdot \mathbf a}{a^2} \mathbf a$,

che misura la distanza tra il punto $\mathbf o$ e la retta su cui giace cioè il vettore $\mathbf a$, valgono le proprietà

$\mathbf M_o = \mathbf r \times \mathbf a = \mathbf h \times \mathbf a$,

$M_o = r a \sin\vartheta = h a \sin\vartheta = h a$,

ossia il valore del momento è determinato dalla sola componente ortogonale del raggio vettore $\mathbf r$; il valore $h$ di tale componente è detto braccio di $\mathbf a$ rispetto al polo $\mathbf o$.

Da notare che se

$\mathrm{sen} \, \vartheta = 0$

(cioè se $\mathbf r$ e $\mathbf a$ sono paralleli) il momento è nullo; viceversa, se

$\mathrm{sen} \, \vartheta = 1$

(cioè se $\mathbf r$ e $\mathbf a$ sono ortogonali) il momento è massimo.

Inoltre, spostando il vettore $\mathbf a$ o il polo $\mathbf o$ parallelamente alla retta su cui giace $\mathbf a$ il momento resta eguale (perché non cambia $h$); scegliendo un nuovo polo $\mathbf o^{\prime}$, d'altra parte, il momento in generale viene modificato, e la differenza tra il valore originario e il nuovo valore $\mathbf M_{o^\prime}$ è pari a

$\mathbf M_o - \mathbf M_{o^\prime} = \mathbf r_{oo^\prime} \times \mathbf a$,

dove $\mathbf r_{oo^\prime}$ è il vettore che punta dal vecchio polo a quello nuovo.

Utilizzo dei momenti in meccanica

In meccanica, e più specificamente nella dinamica dei sistemi, si utilizzano soprattutto due grandezze distinte che rientrano nella definizione di momento:

• il momento angolare, definito come il momento del vettore quantità di moto;

• il momento della forza, che è la somma (vettoriale) dei momenti di tutte le forze che agiscono sul sistema considerato;

Talvolta il vettore quantità di moto viene denominato momento lineare, per evidenziare il suo legame con il momento angolare. A rigore, tuttavia, questa quantità non rappresenta il momento di alcun vettore.

Allo stesso modo, le quantità scalari momento di inerzia e momento statico, nonostante il nome, non rappresentano il momento di alcun vettore.

Momento angolare

Per approfondire, vedi Momento angolare.

Viene definito momento angolare il momento della quantità di moto:

$\mathbf{L} := \mathbf{r} \times \mathbf{P}$;

Momento della forza

Per approfondire, vedi Momento meccanico.

Viene definito momento della forza o momento meccanico polare rispetto a un polo $\mathbf o$ il momento del vettore forza rispetto a tale polo:

$\mathbf M_{o} = \mathbf r \times \mathbf F$.

L'analisi dei momenti delle forze applicate è importante per determinare la condizione di equilibrio statico dei corpi estesi, nonché per lo studio dei moti rotazionali. Esiste infatti un'importante legge di conservazione che stabilisce che, se il momento della forza risultante su un sistema è nullo, il momento angolare di tale sistema si conserva. Questo deriva dal teorema del momento angolare, per cui:

$\frac{d}{dt} \mathbf L = \mathbf M$

dove $\mathbf L$ è il vettore momento angolare, e $\mathbf M$ il momento della risultante, e avendo assicurato che il polo rispetto a cui si calcola il momento sia fermo o si muova parallelamente al centro di massa del sistema.

Teorema di Varignon

Per approfondire, vedi Teorema di Varignon.

Il momento di un sistema di vettori rispetto ad un polo P, è uguale al momento del vettore risultante rispetto allo stesso polo.

$\sum_{n = 1}^N \mathbf M_n = \sum_{n = 1}^N (\mathbf{r}\times\mathbf{A}_n) = \mathbf{r}\times \sum_{n = 1}^N \mathbf{A}_n = \mathbf{r}\times \mathbf{A}$

Questo enunciato, detto teorema di Varignon comparve per la prima volta nel libro Nouvelle Mécanique, pubblicato postumo nel 1725 e trova largo impiego nella statica, in particolare nella scienza delle costruzioni.

Bibliografia

• P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci, Fisica - Volume I (seconda edizione), Napoli, EdiSES, 2010. ISBN 88-7959-137-1.

Voci correlate

• Invariante scalare
• Momento flettente
• Momento torcente
• Prodotto vettoriale
• Teorema di Varignon
• Vettore

Altri progetti

• Commons

• Commons contiene immagini o altri file su Momento (fisica)

Portale Meccanica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Meccanica