Modus tollens

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Il modus tollens è una regola di inferenza della logica proposizionale sviluppata compiutamente per la prima volta dai logici medievali ma conosciuta già agli stoici. Il suo significato è:

"il modo che toglie la verità di una proposizione togliendo quella di un'altra".

In notazione con operatori logici:

[(p \rightarrow q) ∧ ¬ q] \rightarrow ¬p

Il termine p prende il nome di antecedente, q è detto conseguente. Entrambe le lettere rappresentano proposizioni logiche. \neg è un connettivo logico, detto negazione. La proposizione q\,\!, negata tramite il connettivo \neg\,\!, è la proposizione opposta a q e si indica alternativamente con \bar{q}\,\!, e si legge "non q" o "q negato".

Inoltre:

  • p è condizione sufficiente per q\,\!;
  • q è condizione necessaria per p\,\!.

q (se vero) può essere implicato da un termine diverso da p, mentre q (se vero) è necessario per p vero.

Il modus tollens era già stato studiato dagli stoici che avevano elaborato i cosiddetti ragionamenti anapodittici (non dimostrativi, evidenti di per se stessi). Questi ragionamenti, da taluni erroneamente equiparati ai sillogismi aristotelici, in realtà differiscono dai primi per i seguenti aspetti:

  1. Assenza dei quantificatori (esistenziale (\exists) e universale (\forall)).
  2. Il fulcro è la proposizione e non i termini (la logica di Aristotele è prevalentemente terministica o predicativa).
  3. Evidenza o immediatezza (manca il termine medio).
  4. Non hanno carattere dimostrativo né euristico, enunciano verità già note.

Il modus tollens è un caso particolare di sillogismo ipotetico in cui la seconda premessa è una proposizione il cui valore di verità non è ricavato deduttivamente ma accolto sulla base di un'evidenza empirica. Gli stoici approfondirono rispetto ad Aristotele (che si era concentrato sui sillogismi dichiarativi o apofantici) lo studio delle proposizioni ipotetiche e delle disgiuntive.

Esempio di modus tollens[modifica | modifica wikitesto]

  • Se è giorno, c'è luce. (implicazione: p, allora q)
  • Ma non c'è luce. (non q)
  • Dunque non è giorno. (conclusione)

Questo (e altri esempi) di anapodittici sono stati raccolti da Sesto Empirico negli Schizzi Pirroniani.

Dimostrazione di assoluta verità del Modus tollens tramite il controesempio[modifica | modifica wikitesto]

Per dimostrare che le conclusioni del Modus tollens possono essere errate, dobbiamo dimostrare che

[(p \rightarrow q) ∧ ¬ q] \rightarrow ¬p = 0 (dove 0=falso)

Da cui deriva, per la legge delle implicazioni logiche che

  1. [(p \rightarrow q) ∧ ¬ q] = 1
  2. ¬p = 0

Dalla seconda si ricava, per la legge della negazione logica che p = 1 (i)

La prima la scindiamo in

(p \rightarrow q) (j)

e

¬ q (k)

ed il suo valore è 1 soltanto quando entrambe le proposizioni j e k, sono entrambe vere.


¬ q = 1 e quindi q=0

Abbiamo quindi ricavato i due valori di verità delle preposizioni atomiche per cui il ragionamento di Modus tollens può essere falso. Analizzando attentamente k, però, notiamo che può essere vera, essendo q=0, soltanto se p=0, ma ciò è in contraddizione con i.

Non esiste, pertanto, nessun valore di verità assegnabile alle proposizioni p e q che renda la conclusione di Modus tollens falsa.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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