Modello di valutazione dei titoli basato sul consumo

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Il modello di valutazione dei titoli basato sul consumo (CAPM di consumo o CCAPM) descrive le decisioni simultanee di consumo e di scelta del portafoglio in caso di incertezza. In un'ottica di scelta intertemporale i titoli servono a smussare il consumo nel tempo.

La funzione di utilità del consumatore rappresentativo è[1]:

  \sum_{j=o}^\infty \delta^j u(c_{t+j})

dove u è l'utilità istantanea, c_{t+j} il consumo al periodo  t+j e \delta = 1/(1+\rho) è il tasso soggettivo di preferenza per il tempo[2] ( \rho è il tasso di sconto soggettivo).

Due periodi[modifica | modifica wikitesto]

Il consumatore desidera massimizzare l'utilità intertemporale attesa[3]:

  u(c_t) + \delta E_t \left[u(c_{t+1})\right]

dove E_t indica il valore atteso al tempo t. I vincoli di bilancio sono:

 a_t = c_t + \sum_{i=1}^n x_{it}
 a_{t+1} \equiv c_{t+1} = \sum_{j=1}^n (1+r_{jt})x_{jt}

dove  x_{jt} è il titolo j al periodo t, n il numero di titoli,  a_t il patrimonio del consumatore all'inizio del periodo t,  r_{jt} il tasso di rendimento del titolo j al periodo t.

Introducendo questa seconda condizione nella funzione di utilità si può trovare il valore massimo utilizzando la lagrangiana:

 L = u(c_t) + \delta E_t \left[ u \bigg( \sum_{j=1}^n (1+r_{jt})x_{jt} \bigg) \right] - \lambda ( c_t + \sum_{j=1}^n x_{jt} - a_t )

dove  \lambda è il moltiplicatore di Lagrange. Le condizioni di primo ordine sono:

 \frac{\partial L}{\partial c_t}= u^{\prime}(c_t) - \lambda = 0
 \frac{\partial L}{\partial x_{it}}= \delta E_t \left[u^{\prime} (c_{t+1})(1+r_{it})\right] - \lambda = 0 \quad i=1,\ldots,n
 \frac{\partial L}{\partial \lambda}= c_t - \sum_{j=1}^n x_{jt} - a_t = 0

dove   u^{\prime}(c_t)   è la derivata di u(c_t).

Prendendo le due prime equazioni si ottiene:

 u^{\prime}(c_t) = E_t \left[\bigg(\frac{1+r_{it}}{1+\rho}\bigg) u^{\prime}(c_{t+1}) \right] \quad i=1,\ldots,n

L'utilità marginale di un'unità di consumo al periodo t deve essere uguale all'utilità marginale attesa di un'unità risparmiata che da un rendimento di  r_{it} e è consumata al periodo t+1.

Numerosi periodi[modifica | modifica wikitesto]

Il modello diventa, introducendo un titolo privo di rischio  F e un reddito esogeno  y_t :

 max \quad u(c_t) + \sum_{j=1}^\infty \delta^j E_t[u(c_{t+j})]

sotto il vincolo:

 \sum_{j=1}^n x_{j,t+1} + F_{t+1} = \sum_{j=1}^n (1+r_{jt}) x_{jt} + (1+r_{ft})F_t + y_t - c_t

dove  r_{ft} è il tasso di interesse di un titolo privo di rischio. Utilizzando l'equazione di Bellman della programmazione dinamica[4] si può scrivere:

V(A_t) = \max_{x_{i,t+1},F_{t+1}} \left\{ u(A_t + y_t - \sum_{j=1}^n x_{j,t+1} - F_{t+1}) + \delta E_t \left[V(A_{t+1})\right] \right\}

dove la variabile di stato è:

 A_t = \sum_{j=1}^n (1+r_{jt}) x_{jt} + (1+r_{ft}) F_t

Le condizioni di primo ordine sono:

 \frac{\partial V}{\partial x_{i,t+1}} = - u^{\prime}(c_t) + \delta E_t \left[V_A(A_{t+1}) \frac{\partial A_{t+1}}{\partial x_{i,t+1}} \right] = 0 \quad i=1,\ldots,n
 \frac{\partial V}{\partial F_{t+1}}= -u^{\prime}(c_t) + \delta E_t \left[V_A(A_{t+1}) \frac{\partial A_{t+1}}{\partial F_{t+1}} \right] = 0

dove  V_A è la derivata rispetto a  A_{t+1} .

Utilizzando il teorema dell'inviluppo, si possono scrivere così le prime n condizioni:

 V_A(A_t)= u^{\prime}(c_t) => E_t[V_A(A_{t+1})]=E_t[u^{\prime}(c_{t+1})]

Si ottiene:

 u^{\prime}(c_t) = \delta E_t[u^{\prime}(c_{t+1})(1+r_{i,t+1})] \quad i=1,\ldots,n

Per il titolo privo di rischio si ha:

 u^{\prime}(c_t) = \delta (1+r_{f,t+1})E_t[u^{\prime}(c_{t+1})]

La covarianza di due variabili stocastiche x,y è:

 cov(x,y)= E(xy)-E(x) E(y)

Per i titoli rischiosi si può scrivere:

 u^{\prime}(c_t) = \delta \big\{ E_t[u^{\prime}(c_{t+1})]E_t(1+r_{i,t+1}) + cov_t[u^{\prime}(c_{t+1}),(1+r_{i,t+1})] \big\}

Questo risultato mostra che la scelta del consumatore dipende dal rendimento atteso e dalla covarianza con l'utilità marginale del consumo.

Sottraendo dal risultato del titolo rischioso quello del attivo privo senza rischio si ottiene:

 \delta \big\{E_t[u^{\prime}(c_{t+1})]E_t(1+r_{i,t+1})+cov_t[u^{\prime}(c_{t+1}),(1+r_{i,t+1})]\big\}-\delta (1+r_{f,t+1})E_t[u^{\prime}(c_{t+1})]=0

Si può quindi scrivere:

 E_t(r_{i,t+1})-r_{f,t+1} = - \frac{cov_t[u^{\prime}(c_{t+1}),(1+r_{i,t+1})]}{E_t[u^{\prime}(c_{t+1})]}

Il rendimento supplementare di un attivo rischioso che ha una correlazione positiva con il consumo deve essere elevato[5] siccome non offre una buona protezione in caso di bisogno. Infatti, per smussare il consumo bisogna avere dei titoli che hanno una correlazione negativa con le spese di consumo.

Utilità istantanea con avversione al rischio costante[modifica | modifica wikitesto]

Si può scrivere il risultato del titolo rischioso nel modo seguente:

 1 = E_t[\frac{u^{\prime}(c_{t+1})}{u^{\prime}(c_t) (1+\rho)}]E_t(1+r_{i,t+1}) + cov_t[\frac{u^{\prime}(c_{t+1})}{ 
u^{\prime}(c_t)(1+\rho)} \, , \, (1+r_{i,t+1})]

Sia S_{t+1} il fattore di sconto stocastico:

 S_{t+1} = \frac{u^{\prime}(c_{t+1})}{u^{\prime}(c_t)(1+\rho)}

Si ottiene allora:

 1-cov_t[S_{t+1},(1+r_{i,t+1})]=E_t(S_{t+1})E_t(1+r_{i,t+1})
 E_t(1+r_{i,t+1})= [E_t(S_{t+1})]^{-1}\{1-cov_t[S_{t+1},(1+r_{i,t+1})]\}

Se la funzione di utilità istantanea è:

 u(c_t) = \frac{c_t^{1-\sigma}} {1-\sigma}

dove  \sigma è il coefficiente relativo di avversione al rischio (e  1/\sigma l'elasticità di sostituzione intertemporale) si ottiene:

 S_{t+1} = \frac{1}{(1+\rho)} g_{t+1}^{-\sigma}

con  g_{t+1}=c_{t+1}/c_t il tasso lordo di crescita del consumo. L'equazione del reddito atteso diventa allora:

 E_t(1+r_{i,t+1})= (1+\rho)[E_t(g_{t+1}^{-\sigma})]^{-1}\{1- cov_t[\frac{1}{(1+\rho)} g_{t+1}^{-\sigma},(1+r_{i,t+1})]\}

Mankiw et Shapiro[6] utilizzano l'approssimazione seguente della covarianza:

 cov_t[\frac{1}{(1+\rho)} g_{t+1}^{-\sigma},(1+r_{i,t+1})] \approx \frac{-\sigma}{(1+\rho)}cov[g_{t+1},(1+r_{1,t+1})]

L'equazione seguente, normalizzata allo scopo di ottenere un valore unitario per il beta del mercato (il cui rendimento di questo CAPM di consumo ( \beta_{ci} ) è r_{M,t+1} ) può essere paragonata a quella del modello CAPM:

 r_i = a_o + a_2 \beta_{ci}

con:

r_i = rendimento del titolo privo di rischio i

 a_o = (1+\rho)[E_t(g_{t+1}^{-\sigma}]^{-1}-1

 a_2 = \frac{\sigma cov[(1+r_{M,t+1}),g_{t+1}]}{(1+\rho) [E_t(g_{t+1})^{-\sigma}]}

 \beta_{ci} = \frac{cov[(1+r_{i,t+1}),g_{t+1}]}{cov[(1+r_{M,t+1},g_{t+1}]}

Come nel modello CAPM, il rendimento del attivo rischioso i dipende dal rischio sistematico ma questo è dato dalla covarianza con il tasso lordo di crescita del consumo.

Verifica empirica[modifica | modifica wikitesto]

Utilizzando i dati trimestrali di 464 imprese tra il 1959 e il 1982 Mankiw e Shapiro stimano l'equazione seguente:

 r_i = a_o + a_1 \beta_{Mi} + a_2 \beta_{ci}

dove \beta_{Mi} è chiamato il coefficiente beta del consumo.

Il modello CAPM[7] dice che  a_o= r_f \, ; \, a_1 = E(r_{Mi})-r_f \, ; \, a_2 = 0

invece per il modello CCAPM si ha  a_1 = 0 \, ; \, a_2 = E(r_M) - r_f .

Le stime ottenute indicano che il modello CAPM dà un risultato migliore del modello CCAPM.

Altri autori hanno ottenuto risultati negativi, in particolare Hansen et Singleton[8].

Al contrario, Lettau e Ludvigson[9] trovano che una versione condizionale del modello CCAPM che tiene conto del rapporto consumo / patrimonio dà dei risultati soddisfacenti.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ D. T. Breeden, "An intertemporal asset pricing model with stochastic consumption and investment opportunities", Journal of Financial Economics, 1979, p. 265-296
  2. ^ Il fattore di sconto psicologico delle utilità future.
  3. ^ Questa utilità additiva può essere sostituita da une forma più generale (Si veda Y.Z. Bergman, " Time Preference and Capital Asset Pricing Models ", Journal of Financial Economics, 1985, p. 145-159)
  4. ^ K.J. Arrow and M. Kurz, Public Investment, The Rate of Return, And Optimal Fiscal Policy, London, 1970
  5. ^ L'utilità marginale del consumo è una funzione decrescente.
  6. ^ N.G. Mankiw and M.D. Shapiro, "Risk and return: consumption beta versus market beta", Review of Economics and Statistics, 1986, p. 453
  7. ^ L'equazione del rendimento del titolo rischioso è:  r_i = a_o + a_1 \beta_{Mi}
  8. ^ L.P. Hansen e K.J. Singleton,"Stochastic Consumption, Risk Aversion, and the Temporal Behavior of Asset Returns", Journal of Political Economy, 1983, p. 249-265
  9. ^ M. Lettau and S. Ludvigson, "Resurrecting the (C)CAPM: A Cross-Sectionl Test When Risk Premia Are Time-Varying", Journal of Political Economy, 2001, p. 1238-1287

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • D. T. Breeden, "An intertemporal asset pricing model with stochastic consumption and investment opportunities", Journal of Financial Economics, 1979, p. 265-296
  • D. Breeden, M.R. Gibbons, R.H. Litzenberger, "Empirical tests of the consumption-oriented CAPM", Journal of Finance, 1989, p. 231-262
  • J.H. Cochrane, "A cross-sectional test of an investment-based pricing Model", Journal of Political Economy, 1996, p. 572-621
  • D. Duffie and William Zame, "The Consumption-based Capital Asset Pricing Model", Econometrica, 1989, p. 1279-1297
  • R. Lucas, "Asset Prices in an Exchange Economy", Econometrica, 1978, p. 1429-1445
  • N.G. Mankiw and M.D. Shapiro, "Risk and return: consumption beta versus market beta", Review of Economics and Statistics, 1986, p. 452-459
  • R. Mehra and E. Prescott, "The equity premium: a puzzle", Journal of Monetary Economics, 1985, p. 145-161
  • Economic Sciences Prize Committee of the Royal Swedish Academy of Sciences, UNDERSTANDING ASSET PRICES, Stockholm, 2013 [1]
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