Modello di Ehrenfest

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Il modello di Ehrenfest della diffusione fu proposto da Paul Ehrenfest per spiegare il secondo principio della termodinamica. È un esempio di catena di Markov.

Il modello è costituito da N particelle in due contenitori.

Ad ogni istante t=1,2,... una particella viene scelta a caso (ogni particella ha una probabilità 1/N di essere scelta) e spostata nell'altro contenitore.

Sia X(t) la variabile aleatoria che rappresenta il numero di particelle in uno dei due contenitori al tempo t.

Il sistema evolve secondo la probabilità di transizione p_{ij}=P(X(t)=i | X(t-1)=j) con

p_{ij}=\left\lbrace \begin{array}{ll} 1-\frac{j}{N} & \text{ se } i=j+1\\ \frac{j}{N} & \text{ se } i=j-1 \\ 0 &\text{ altrimenti}  \end{array}\right.

La distribuzione di probabilità all'equilibrio è \pi_i = 2^{-N}\binom{N}{i}.

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