Mistura di distribuzioni

Una mistura di distribuzioni è una variabile casuale la cui funzione di probabilità (nel caso di una variabile casuale discreta) o funzione di densità di probabilità (nel caso di una variabile casuale continua) è data da una media ponderata di funzioni di probabilità o densità di altre variabili casuali.

Nel caso di una mistura finita di distribuzioni continue la funzione di densità di probabilità è descritta in generale da

$f(x;\pi_1,\dots,\pi_k,g_1,\dots,g_k)=\sum_{i=1}^k\pi_i g_i(x)$

con il vincolo che $\Sigma_{i=1}^k\pi_i =1$ e dove $g_i$ sono k funzioni di probabilità, le quali possono a loro volta avere dei parametri che le caratterizzano.

Ad esempio una mistura di due distribuzioni normali ha come funzione di densità di probabilità

$f(x;\pi_1,\mu_1,\sigma_1,\mu_2,\sigma_2)=\pi_1 \phi(x;\mu_1,\sigma_1) + \pi_2 \phi(x;\mu_2,\sigma_2)$

dove $\pi_2= 1 - \pi_1$ e $\phi(x;\mu,\sigma)$ è la funzione di densità di probabilità di una variabile casuale normale.

Un teorema di rappresentazione di Lebesgue assicura che ogni variabile casuale è rappresentabile come mistura di distribuzioni del tipo continuo e/o discreto e/o singolare.

Uno dei casi nei quali si ricorre ad un mistura di distribuzioni è quello delle subpopolazioni, ovvero quando una popolazione (di valori) è composta da più sottopopolazioni ciascuna con una propria distribuzione dei valori. Ad esempio, se si ritiene che sia l'altezza degli uomini che l'altezza delle donne è distribuita come una normale ma con la media per gli uomini maggiore della media delle donne, allora l'altezza degli individui senza distinzione di sesso è una mistura di due distribuzioni normali.

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana si fa ampio ricorso a misture basate sulle coniugate prior come nel caso della Binomiale con la Beta (v.c. betabinomiale), la Poissoniana con la Gamma (v.c. Poisson-Gamma), l'esponenziale o la Gamma con la Gamma stessa.

Voci correlate

• distribuzione composta
• algoritmo EM
• combinazione convessa
• variabile casuale betabinomiale
• variabile casuale Poisson-Gamma
• Trasformazione integrale di probabilità

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