Metodo di Frobenius

In matematica, il metodo di Frobenius, il cui nome deriva dal matematico tedesco Ferdinand Georg Frobenius, descrive un modo di trovare una soluzione come serie infinita per una equazione differenziale ordinaria della forma

$z^2u''+p(z)zu'+q(z)u=0\!\;$

Si può dividere l'equazione differenziale per z² ed ottenere una forma equivalente:

$u''+{p(z) \over z}u'+{q(z) \over z^2}u=0$

Quest'ultima non è risolubile tramite espansione in serie cercando soluzioni del tipo $u(z) = \sum_{i=0}^\infty a_n z^n$ se p(z)/z oppure q(z)/z² non è analitica in z = 0. Il metodo di Frobenius permette di creare delle soluzioni in serie di potenze a questo tipo di equazioni differenziali, nel caso in cui p(z) e q(z) siano a loro volta analitiche nell'intorno dello 0 oppure, essendo analitiche in ogni altro punto, anche il loro limite a zero esista (finito).

Formulazione

Il metodo di Frobenius ci dice che possiamo cercare una soluzione nella forma

$u(z)=\sum_{k=0}^{\infty} A_kz^{k+r}, (A_0 \neq 0)$

Derivando:

$u'(z)=\sum_{k=0}^{\infty} (k+r)A_kz^{k+r-1}$

$u''(z)=\sum_{k=0}^{\infty} (k+r-1)(k+r)A_kz^{k+r-2}$

Sostituendo:

$z^2\sum_{k=0}^{\infty} (k+r-1)(k+r)A_kz^{k+r-2}+zp(z)\sum_{k=0}^{\infty} (k+r)A_kz^{k+r-1}+q(z)\sum_{k=0}^{\infty} A_kz^{k+r}$

$=\sum_{k=0}^{\infty} (k+r-1)(k+r)A_kz^{k+r}+p(z)\sum_{k=0}^{\infty} (k+r)A_kz^{k+r}+q(z)\sum_{k=0}^{\infty} A_kz^{k+r}$

$=\sum_{k=0}^{\infty} (k+r-1)(k+r)A_kz^{k+r}+p(z)(k+r)A_kz^{k+r}+q(z)A_kz^{k+r}$

$=\sum_{k=0}^{\infty} ((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_kz^{k+r}$

$=(r(r-1)+p(z)r+q(z))A_0z^r+\sum_{k=1}^{\infty} ((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_kz^{k+r}$

L'espressione $\;r\left(r-1\right)+p\left(0\right)r+q\left(0\right)=I\left(r\right)$ è nota come il polinomio indiciale o polinomio caratteristico, che è quadratico in r. La definizione generale di polinomio indiciale è il coefficiente delle più piccola potenza di $z$ nella serie infinita. In questo caso accade che è l'$r$-esimo coefficiente, ma può accadere che il più piccolo esponente sia $r-2$, $r-1$ oppure qualcos'altro dipendente dalla data equazione differenziale. Questo dettaglio è importante da tenere in mente perché si può arrivare alla fine con una complicata espressione nel processo di sincronizzazione degli indici di tutte le serie dell'equazione differenziale, necessario affinché tutte queste inizino con lo stesso valore di indice (nell'espressione precedente è $k=1$). Ad ogni modo, nella ricerca delle soluzioni dell'equazione indiciale l'attenzione è focalizzata solo sul coefficiente della potenza minore di $z$.

Usando questo fatto, l'espressione generale del coefficiente di z^k+r è

$I(k+r)A_k+\sum_{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_j$

Questo coefficiente deve essere zero, dal momento che deve essere la soluzione dell'equazione differenziale, quindi:

$I(k+r)A_k+\sum_{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_j=0$

$\sum_{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_j=-I(k+r)A_k$

${1\over-I(k+r)}\sum_{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_j=A_k$

La soluzione in serie con A_k di sopra,

$U_{r}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}A_kz^{k+r}$

soddisfa

$z^2U_{r}(z)''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{r}\!\;$

Se noi scegliamo una delle radici dell'equazione indiciale per r in U_r(z), noi otteniamo la soluzione dell'equazione differenziale. Se la differenza fra le radici non è un numero intero, con l'altra radice otteniamo un'altra soluzione linearmente indipendente dalla prima.

Esempio

Risolviamo l'equazione:

$z^2f''-zf'+(1-z)f=0$

Dividendo tutto per z² otteniamo:

$f''-{1\over z}f'+{1-z \over z^2}f=f''-{1\over z}f'+\left({1\over z^2}-{1\over z}\right)f=0$

che ha la richiesta singolarità a z=0.

Usando le soluzioni in serie:

$f = \sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r}$

$f' = \sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-1}$

$f'' = \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}$

Ora, sostituendo:

$\sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-{1\over z}\sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-1}+\left({1\over z^2}-{1\over z}\right)\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r}$

$= \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-{1\over z}\sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-1}+{1\over z^2}\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r}-{1\over z}\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r}$

$= \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-2}+\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r-1}$

Dobbiamo cambiare indice all'ultima sommatoria.

$= \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-2}+\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r-2}-\sum_{k-1=0}^\infty A_{k-1}z^{k+r-2}$

$= \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-2}+\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=1}^\infty A_{k-1}z^{k+r-2}$

Possiamo prendere un elemento fuori dalla sommatoria che parte con k=0 per ottenere che tutte le sommatorie partano con lo stesso indice.

$= ((r)(r-1)A_0z^{r-2})+\sum_{k=1}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-((r)A_0z^{r-2})-\sum_{k=1}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-2}$

$+(A_0z^{r-2})+\sum_{k=1}^\infty A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=1}^\infty A_{k-1}z^{k+r-2}$

$= (r(r-1)-r+1)A_0z^{r-2}+$

$\sum_{k=1}^\infty \left( ((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1)A_k - A_{k-1} \right)z^{k+r-2}$

Risolvendo l'equazione indiciale r(r-1)-r+1 = r²-2r+1 =0, che ha una doppia radice di valore 1, otteniamo la prima soluzione all'equazione differenziale. Usando questa radice, settiamo il coefficiente di z^k+r-2 in modo che sia nullo (per essere una soluzione), che fornisce la relazione di ricorrenza:

$((k+1)(k)-(k+1)+1)A_k - A_{k-1} =(k^2)A_k-A_{k-1}=0$

$A_k = {A_{k-1}\over k^2}$

Date le condizioni iniziali, noi possiamo risolvere completamente la relazione di ricorrenza e ottenere la soluzione come espansione in serie.

Dal momento che il rapporto del coefficienti $A_k/A_{k-1}$ è una funzione razionale, la serie di potenze può essere espressa come un caso particolare della serie ipergeometrica generalizzata.

Radici doppie

Il precedente esempio coinvolge un polinomio indiciale con una radice ripetuta, che fornisce quindi solo una soluzione alla data equazione differenziale. In generale, il metodo di Frobenius fornisce due soluzioni linearmente indipendenti se le radici sono distinte.

Se le radici sono ripetute, o differiscono per un numero intero, la seconda soluzione può essere trovata dall'equazione:

$y_2 = y_1 \ln x + \sum_{k=1}^\infty a_kx^{k+r}$

Dove $y_1(x)$ è la prima soluzione e i coefficienti $a_k$ devono essere determinati.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Metodo di Frobenius su MathWorld.
• John H. Mathews, Modulo per la soluzione con il metodo di Frobenius
• WT Ang and YS Park, Ordinary Differential Equations: Methods and Applications un corso conciso delle equazioni differenziali ordinarie (il metodo di Frobenius method è discusso nel capitolo 5) (i capitoli 1 e 5 sono disponibili per il download in PDF) (pubblicato nel 2008)
• Gerald Teschl, Equazioni differenziali ordinarie e Sistemi Dinamici il capitolo 4 contiene la descrizione con dimostrazione del metodo.

Voci correlate

• Punto singolare regolare
• Equazione differenziale complessa