Metodo di Frobenius

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In matematica, il metodo di Frobenius, il cui nome deriva dal matematico tedesco Ferdinand Georg Frobenius, descrive un modo di trovare una soluzione come serie infinita per una equazione differenziale ordinaria della forma

z^2u''+p(z)zu'+q(z)u=0\!\;

Si può dividere l'equazione differenziale per z2 ed ottenere una forma equivalente:

u''+{p(z) \over z}u'+{q(z) \over z^2}u=0

Quest'ultima non è risolubile tramite espansione in serie cercando soluzioni del tipo u(z) = \sum_{i=0}^\infty a_n z^n se p(z)/z oppure q(z)/z2 non è analitica in z = 0. Il metodo di Frobenius permette di creare delle soluzioni in serie di potenze a questo tipo di equazioni differenziali, nel caso in cui p(z) e q(z) siano a loro volta analitiche nell'intorno dello 0 oppure, essendo analitiche in ogni altro punto, anche il loro limite a zero esista (finito).

Formulazione[modifica | modifica sorgente]

Il metodo di Frobenius ci dice che possiamo cercare una soluzione nella forma

u(z)=\sum_{k=0}^{\infty} A_kz^{k+r}, (A_0 \neq 0)

Derivando:

u'(z)=\sum_{k=0}^{\infty} (k+r)A_kz^{k+r-1}
u''(z)=\sum_{k=0}^{\infty} (k+r-1)(k+r)A_kz^{k+r-2}

Sostituendo:

z^2\sum_{k=0}^{\infty} (k+r-1)(k+r)A_kz^{k+r-2}+zp(z)\sum_{k=0}^{\infty} (k+r)A_kz^{k+r-1}+q(z)\sum_{k=0}^{\infty} A_kz^{k+r}
=\sum_{k=0}^{\infty} (k+r-1)(k+r)A_kz^{k+r}+p(z)\sum_{k=0}^{\infty} (k+r)A_kz^{k+r}+q(z)\sum_{k=0}^{\infty} A_kz^{k+r}
=\sum_{k=0}^{\infty} (k+r-1)(k+r)A_kz^{k+r}+p(z)(k+r)A_kz^{k+r}+q(z)A_kz^{k+r}
=\sum_{k=0}^{\infty} ((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_kz^{k+r}
=(r(r-1)+p(z)r+q(z))A_0z^r+\sum_{k=1}^{\infty} ((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_kz^{k+r}

L'espressione \;r\left(r-1\right)+p\left(0\right)r+q\left(0\right)=I\left(r\right) è nota come il polinomio indiciale o polinomio caratteristico, che è quadratico in r. La definizione generale di polinomio indiciale è il coefficiente delle più piccola potenza di z nella serie infinita. In questo caso accade che è l'r-esimo coefficiente, ma può accadere che il più piccolo esponente sia r-2, r-1 oppure qualcos'altro dipendente dalla data equazione differenziale. Questo dettaglio è importante da tenere in mente perché si può arrivare alla fine con una complicata espressione nel processo di sincronizzazione degli indici di tutte le serie dell'equazione differenziale, necessario affinché tutte queste inizino con lo stesso valore di indice (nell'espressione precedente è k=1). Ad ogni modo, nella ricerca delle soluzioni dell'equazione indiciale l'attenzione è focalizzata solo sul coefficiente della potenza minore di z.

Usando questo fatto, l'espressione generale del coefficiente di zk+r è

I(k+r)A_k+\sum_{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_j

Questo coefficiente deve essere zero, dal momento che deve essere la soluzione dell'equazione differenziale, quindi:

I(k+r)A_k+\sum_{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_j=0
\sum_{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_j=-I(k+r)A_k
{1\over-I(k+r)}\sum_{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_j=A_k

La soluzione in serie con Ak di sopra,

U_{r}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}A_kz^{k+r}

soddisfa

z^2U_{r}(z)''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{r}\!\;

Se noi scegliamo una delle radici dell'equazione indiciale per r in Ur(z), noi otteniamo la soluzione dell'equazione differenziale. Se la differenza fra le radici non è un numero intero, con l'altra radice otteniamo un'altra soluzione linearmente indipendente dalla prima.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Risolviamo l'equazione:

z^2f''-zf'+(1-z)f=0

Dividendo tutto per z2 otteniamo:

f''-{1\over z}f'+{1-z \over z^2}f=f''-{1\over z}f'+\left({1\over z^2}-{1\over z}\right)f=0

che ha la richiesta singolarità a z=0.

Usando le soluzioni in serie:

f   = \sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r}
f'  = \sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-1}
f'' = \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}

Ora, sostituendo:

 \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-{1\over z}\sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-1}+\left({1\over z^2}-{1\over z}\right)\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r}
 = \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-{1\over z}\sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-1}+{1\over z^2}\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r}-{1\over z}\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r}
 = \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-2}+\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r-1}

Dobbiamo cambiare indice all'ultima sommatoria.

 = \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-2}+\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r-2}-\sum_{k-1=0}^\infty A_{k-1}z^{k+r-2}
 = \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-2}+\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=1}^\infty A_{k-1}z^{k+r-2}

Possiamo prendere un elemento fuori dalla sommatoria che parte con k=0 per ottenere che tutte le sommatorie partano con lo stesso indice.

 = ((r)(r-1)A_0z^{r-2})+\sum_{k=1}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-((r)A_0z^{r-2})-\sum_{k=1}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-2}
+(A_0z^{r-2})+\sum_{k=1}^\infty A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=1}^\infty A_{k-1}z^{k+r-2}
 = (r(r-1)-r+1)A_0z^{r-2}+
\sum_{k=1}^\infty \left(  ((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1)A_k - A_{k-1}  \right)z^{k+r-2}

Risolvendo l'equazione indiciale r(r-1)-r+1 = r2-2r+1 =0, che ha una doppia radice di valore 1, otteniamo la prima soluzione all'equazione differenziale. Usando questa radice, settiamo il coefficiente di zk+r-2 in modo che sia nullo (per essere una soluzione), che fornisce la relazione di ricorrenza:

 ((k+1)(k)-(k+1)+1)A_k - A_{k-1}  =(k^2)A_k-A_{k-1}=0
 A_k = {A_{k-1}\over k^2}

Date le condizioni iniziali, noi possiamo risolvere completamente la relazione di ricorrenza e ottenere la soluzione come espansione in serie.

Dal momento che il rapporto del coefficienti A_k/A_{k-1} è una funzione razionale, la serie di potenze può essere espressa come un caso particolare della serie ipergeometrica generalizzata.

Radici doppie[modifica | modifica sorgente]

Il precedente esempio coinvolge un polinomio indiciale con una radice ripetuta, che fornisce quindi solo una soluzione alla data equazione differenziale. In generale, il metodo di Frobenius fornisce due soluzioni linearmente indipendenti se le radici sono distinte.

Se le radici sono ripetute, o differiscono per un numero intero, la seconda soluzione può essere trovata dall'equazione:

 y_2 = y_1 \ln x + \sum_{k=1}^\infty a_kx^{k+r}

Dove y_1(x) è la prima soluzione e i coefficienti a_k devono essere determinati.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]