Median absolute deviation

In statistica, il median absolute deviation (MAD) misura la dispersione statistica di un campione.

Per un insieme X₁, X₂, ..., X_n, il valore di MAD è definito come la mediana del valore assoluto dei dati mediati, ovvero:

$\operatorname{MAD} = \operatorname{median}_{i}\left(\ \left| X_{i} - \operatorname{median}_{j} (X_{j}) \right|\ \right)$

Esempio

• Si consideri un insieme (1, 1, 2, 2, 4, 6, 9), che ha un valore mediano di 2.
• Il valore assoluto dei dati a cui sottraiamo il valore mediano è pari a (1, 1, 0, 0, 2, 4, 7), che ha un valore mediano pari a 1
  • basti considerare il riordinamento dei dati: (0, 0, 1, 1, 2, 4, 7).
  • Il MAD è quindi pari a 1

Usi

Il median absolute deviation è una misura di dispersione. È uno stimatore più robusto della semplice varianza o deviazione standard. Si comporta meglio con distribuzioni senza valor medio o varianza, come la distribuzione di Cauchy. Ad esempio la distribuzione standard di Cauchy ha un valore indefinito di varianza, ma un valore di MAD pari a 1.

Ad esempio il MAD presenta una minore sensibilità agli outliers rispetto alla deviazione standard.

Relazione con la deviazione standard

Si può concludere che i due valori sono correlati da un certo numero:

$\frac {\operatorname{MAD}}\sigma \approx 0.6745 \,$

ovvero:

$\sigma \approx 1.4826\ \operatorname{MAD}. \,$

Storia

La prima menzione nota del concetto di MAD si ha nel 1816, in un articolo scientifico di Carl Friedrich Gauss sulla determinazione dell'accuratezza delle osservazioni numeriche.

Bibliografia

• (EN) David C. Hoaglin; Frederick Mosteller and John W. Tukey, Understanding Robust and Exploratory Data Analysis, John Wiley & Sons, 1983, 404–414.
• (EN) Roberta S. Russell; Bernard W. Taylor III., Operations Management, John Wiley & Sons, 2006, 497–498.
• (EN) W.N. Venables; B.D. Ripley, Modern Applied Statistics with S-PLUS, Springer, 1999, pp. 128.

Voci correlate

• Deviazione standard

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