Meccanica appelliana

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La meccanica appelliana è una formulazione alternativa della meccanica classica formulata nell'anno 1900[1], che si incentra sull'equazione:


\frac{\partial \mathcal M}{\partial \alpha_{r}} = Q_{r}

Qui, \alpha_r è un'accelerazione generalizzata arbitraria e Qr è la corrispondente forza generalizzata; allora, il lavoro differenziale svolto risulta:


\operatorname dW = \sum_{r=1}^{D} Q_{r} \operatorname dq_{r}

dove D è il numero di coordinate generalizzate qr, che in una parametrizzazione corretta corrisponde al grado di libertà del sistema. L'Appelliana \mathcal M è definita come la somma dei quadrati delle accelerazioni generalizzate del sistema ponderata sulla massa, avendo la dimensione di una forza generalizzata per un'accelerazione generalizzata:


\mathcal M = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} m_{k} \ddot q_{k}^{2}

dove N è il numero delle particelle. Nonostante sia equivalente alle altre tre classiche formulazione della meccanica, quella appelliana risulta più conveniente coi sistemi vincolati: Può essere infatti vista come una variazione del principio di minimo vincolo di Gauss.

La meccanica appelliana si è collocata storicamente però in una posizione meno centrale e conosciuta rispetto alle tre formulazioni classiche, e viene per via dei concetti di grandezze generalizzate cui fa riferimento normalmente trattata nell'ambito della meccanica lagrangiana.

Equazioni di Eulero[modifica | modifica wikitesto]

La validità della formulazione di Appell si può ridurre a quella delle equazioni di Eulero.

Si consideri infatti un corpo rigido costituito da N particelle unite da un vincolo di rigidità. La rotazione del corpo può essere descritta da una velocità angolare \mathbf \omega, e dal corrispondente vettore di accelerazione angolare


\mathbf \alpha = \frac{\operatorname d\mathbf\omega}{\operatorname dt}

La forza generalizzata per una rotazione è il momento meccanico M, poiché il lavoro svolto per un differenziale di rotazione \operatorname d \mathbf\phi è \operatorname dW = \mathbf{M} \cdot \operatorname d\mathbf\phi. La velocità della particella kesima è:


\mathbf{v}_{k} = \boldsymbol\omega \times \mathbf{r}_{k}

dove rk è la posizione della particella in coordinate cartesiane; la sua accelerazione corrispondente è


\mathbf{a}_{k} = \frac{\operatorname d\mathbf{v}_{k}}{\operatorname dt} = 
\mathbf\alpha \times \mathbf{r}_{k} + \mathbf\omega \times \mathbf{v}_{k}

Perciò, l'Appelliana può essere riscritta come


\mathcal M = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} m_{k} \left( \mathbf{a}_{k} \cdot \mathbf{a}_{k} \right)
= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} m_{k} \left\{ \left(\boldsymbol\alpha \times \mathbf{r}_{k} \right)^{2} 
+ \left( \boldsymbol\omega \times \mathbf{v}_{k} \right)^{2} 
+ 2 \left( \boldsymbol\alpha \times \mathbf{r}_{k} \right) \cdot \left(\boldsymbol\omega \times \mathbf{v}_{k}\right) \right\}

Imponendo le derivate dell'Appelliana rispetto alle \boldsymbol\alpha come uguali al momento meccanico arriviamo alla seconda equazione cardinale vettoriale:

\begin{cases} 
I_{xx} \alpha_{x} - \left( I_{yy} - I_{zz} \right)\omega_{y} \omega_{z} = M_{x}\\
I_{yy} \alpha_{y} - \left( I_{zz} - I_{xx} \right)\omega_{z} \omega_{x} = M_{y}\\
I_{zz} \alpha_{z} - \left( I_{xx} - I_{yy} \right)\omega_{x} \omega_{y} = M_{z}
\end{cases}

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (FR) Paul Émile Appell, Sur une forme générale des équations de la dynamique. in Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 121, 1900, pp. 310–?. — Disponibile presso l'Università di Gottinga

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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