Matrici di Gell-Mann

Le matrici di Gell-Mann, così chiamate in onore del premio Nobel statunitense per la fisica Murray Gell-Mann, sono un insieme di matrici 3×3 complesse hermitiane. Sono i generatori infinitesimali di SU(3).

In concreto, le matrici possono essere scritte come:

$\lambda_1 := \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ~,$ $\lambda_2 := \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ~,$ $\lambda_3 := \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ~,$ $\lambda_4 := \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} ~,$

$\lambda_5 := \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix} ~,$ $\lambda_6 := \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} ~,$ $\lambda_7 := \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} ~,$ $\lambda_8 := \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} ~.$

Simili alle matrici di Pauli, ovvero quelle costituenti i generatori di SU(2), le matrici di Gell-Mann sono a traccia nulla ed hermitiane. Nella fisica delle particelle elementari esse descrivono il cambiamento di colore, così come le matrici di Pauli descrivono spin e isospin.

Come le matrici di Pauli, le matrici di Gell-Mann soddisfano alcune importanti relazioni di commutazione. Queste sono:

$[\lambda_i, \lambda_j] = i\mathcal{K}_{ijk} \lambda_k$

dove gli elementi del tensore K di rango 3 sono

$\mathcal{K}_{123}=2;\; \mathcal{K}_{147}=1;\; \mathcal{K}_{156}=-1;\; \mathcal{K}_{246}=1;\; \mathcal{K}_{257}=1;$

$\mathcal{K}_{345}=1;\; \mathcal{K}_{367}=-1;\; \mathcal{K}_{458}=\sqrt{3};\; \mathcal{K}_{678}=\sqrt{3} ~.$

e tutti gli elementi le cui terne di indici non sono permutazioni delle terne precedenti sono uguali a zero. Sommando le componenti di K sul terzo indice si ottiene una matrice totalmente antisimmetrica.

Voci correlate

• Glossario sulle matrici
• Gluoni
• Cromodinamica quantistica
• Modello a quark costituenti
• Modello standard
• QCD su reticolo
• QED
• Quark

Bibliografia

• Grozin, A., " Heavy quark effective theory" Berlin ecc. Springer, 2004, ISBN 3540206922

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