Matrice involutoria

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In algebra lineare per matrice involutoria si intende una matrice che coincide con la propria inversa; si tratta quindi di un caso particolare di matrice invertibile. In particolare le matrici involutive o involuzioni soddisfano l'equazione:

\mathbf A^2 =I

che impone per gli autovalori i valori +1 e -1. Alcune matrici involutorie sui reali sono interpretabili come trasformazioni lineari involutorie di uno spazio Rn in se e più concretamente come riflessioni.

Si vede facilmente che anche la matrice opposta di una involutoria è una matrice involutoria.

Questi sono alcuni esempi di matrici involutorie che, come si può vedere abbastanza facilmente, rappresentano riflessioni in R2


\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \qquad
\begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix} \qquad
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{bmatrix} \qquad
\begin{bmatrix}
\sin\theta & \cos\theta \\
\cos\theta & -\sin\theta
\end{bmatrix}

e in R3


\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1 
\end{bmatrix} \qquad
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 
\end{bmatrix} \qquad
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1 
\end{bmatrix}


\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & -1 & 0 
\end{bmatrix} \qquad
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0 
\end{bmatrix} \qquad
\begin{bmatrix}
\sin\theta  & 0 & \cos\theta  \\
0 & -1 & 0 \\
\cos\theta  & 0 & -\sin\theta  
\end{bmatrix}

Altri esempi di matrici involutorie:


\begin{bmatrix}
0 & i \\
-i & 0
\end{bmatrix} \qquad
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 
\end{bmatrix}

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


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