Matrice hamiltoniana

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In matematica, una matrice hamiltoniana A è una qualsiasi matrice reale A di dimensioni 2n \times 2n tale che KA è simmetrica, ove K è una matrice antisimmetrica

K=
\begin{bmatrix}
0 & I_n \\
-I_n & 0 \\
\end{bmatrix}

e I_n è la matrice identità di dimensioni n \times n . In altre parole, A è hamiltoniana se e solo se

KA - A^T K^T = KA + A^T K = 0.

Nello spazio vettoriale di tutte le matrici 2n \times 2n, le matrici di Hamilton Hamiltonian formano un Sottospazio vettoriale di dimensione 2n^2 + n.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

M = \begin{pmatrix}A & B \\ C & D\end{pmatrix}
in cui A, B, C, e D sono matrici n \times n. Quindi M è una matrice Hamiltoniana se le matrici B e C sono simmetriche, e A + D^T = 0.

Operatore hamiltoniano[modifica | modifica sorgente]

Sia V uno spazio vettoriale fornito di una forma simplettica O. Una mappa lineare A:\; V \mapsto V è detta operatore hamiltoniano rispetto ad O se la forma x, y \mapsto \Omega(A(x), y) è simmetrica. Equivalentemente, deve soddisfare

\Omega(A(x), y)=-\Omega(x, A(y))

Si scelga una base e_1, ... e_2</sub> in V, tale che O è definibile come \sum_i e_i \wedge e_{n+i}. Un operatore lineare è hamiltoniano rispetto a O se e solo se la sua matrice in questa base è hamiltoniana[2].

Da questa definizione, seguono le proprietà:

Una radice di una matrice hamiltoniana è anti-hamiltoniana.
L'esponenziale di una matrice hamiltoniana è simplettica.
Il logaritmo di una matrice simplettica è hamiltoniano.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Alex J. Dragt, The symplectic group and classical mechanics in Annals of the New York Academy of Sciences, vol. 1045, nº 1, 2005, pp. 291–307, DOI:10.1196/annals.1350.025..
  2. ^ William C. Waterhouse, The structure of alternating-Hamiltonian matrices in Linear Algebra and its Application, vol. 396, 2005, pp. 385–390, DOI:10.1016/j.laa.2004.10.003..

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) K. R. Meyer e G. R. Hall, Introduction to Hamiltonian dynamical systems and the N-body problem, Springer, 1991, pp. 34–35, ISBN 0-387-97637-X.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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