Matrice hamiltoniana

In matematica, una matrice hamiltoniana $A$ è una qualsiasi matrice reale $A$ di dimensioni $2n\times 2n$ tale che $JA$ è simmetrica, ove $J$ è la matrice antisimmetrica

$J={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}},$

e $I_{n}$ è la matrice identità di dimensioni $n\times n.$ In altre parole, $A$ è hamiltoniana se e solo se

$JA-A^{T}J^{T}=JA+A^{T}J=0.$

Nello spazio vettoriale di tutte le matrici $2n\times 2n$, le matrici di Hamilton Hamiltonian formano un sottospazio vettoriale di dimensione $2n^{2}+n$.

Proprietà

• Sia $M$ una matrice a blocchi di dimensioni $2n\times 2n$ data da

$M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}$

in cui $A$, $B$, $C$, e $D$ sono matrici $n\times n$. Quindi $M$ è una matrice Hamiltoniana se le matrici $B$ e $C$ sono simmetriche, e $A+D^{T}=0$.

• La matrice trasposta di una matrice hamiltoniana è hamiltoniana.
• La traccia di una matrice hamiltoniana è nulla.
• Il commutatore di due matrici hamiltoniane è hamiltoniano.
• Gli autovalori di una matrice hamiltoniana sono simmetrici rispetto all'asse immaginario.
• Lo spazio di tutte le matrici hamiltoniane è un'algebra di Lie ${\mathfrak {Sp}}(2n)$.

Operatore hamiltoniano

Sia $V$ uno spazio vettoriale fornito di una forma simplettica $\omega$. Una mappa lineare $A\colon V\mapsto V$ è detta operatore hamiltoniano rispetto ad $\omega$ se la forma $(x,y)\mapsto \omega (A(x),y)$ è simmetrica. Equivalentemente, deve soddisfare

$\omega (A(x),y)=-\omega (x,A(y)).$

Si scelga una base $e_{1},\ldots ,e_{2n}$ in $V$, tale che $\Omega$ sia definibile come $\sum _{i=1}^{n}e_{i}\wedge e_{n+i}$. Un operatore lineare è hamiltoniano rispetto a $\omega$ se e solo se la sua matrice in questa base è hamiltoniana.

Da questa definizione, seguono le proprietà:

• una radice di una matrice hamiltoniana è anti-hamiltoniana;
• l'esponenziale di una matrice hamiltoniana è simplettica;
• il logaritmo di una matrice simplettica è hamiltoniano.

Intelligenza artificiale

Date le posizioni degli elettroni in una molecola, l'intelligenza artificiale è in grado di predire con precisione la matrice hamiltoniana descrivente gli stati degli atomi e l'energia ad essi associata.

Bibliografia

• (EN) K. R. Meyer e G. R. Hall, Introduction to Hamiltonian dynamical systems and the N-body problem, Springer, 1991, pp. 34–35, ISBN 0-387-97637-X.

Voci correlate

• William Rowan Hamilton
• Matrice antihamiltoniana